El Número de la Bestia
Mike Keith

א

Veamos un compendio de las propiedades matemáticas sobre el 666. Se han seleccionado fragmentos del artículo de Mike Keith, en http://users.aol.com/s6sj7gt/mike666.htm.

ב

El 666 es la suma y diferencia de los tres primeras potencias: 666 = 1⁶ - 2⁶ + 3⁶.

Es también igual a la suma de sus dígitos más sus cubos: 666 = 6 + 6 + 6 + 6³ + 6³ + 6³.

ג

La suma de los cuadrados de los 7 primeros primos es 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17².

ד

La suma de los primeros 144 [= (6+6)·(6+6)] dígitos de p es 666.

ה

El número 16661 es el primer “primo palindrómico bestial”, en la forma 1[0...0]666[0...0]1. El siguiente es 1000000000000066600000000000001, que puede ser escrito usando la notación 10₁₃6660₁₃1, donde los subíndices indican el número de ceros correlativos. Los primeros 7 números de este tipo tienen sus índices 0, 13, 42, 506, 608, 2472, y 2623.

ו

Llamaremos prim-dígit-rótulos aquellos números primos cuya la suma de dígitos es igual a las del número de orden del primo. El citado 16661 es uno de ellos, ya que es el primo 1928º, y

1 + 6 + 6 + 6 + 1 = 1 + 9 + 2 + 8.

ז

El triplete (216, 630, 666) es pitagórico, y puede ser escrito: (6·6·6)² + (666 - 6·6)² = 666²

La secuencia de los primos palindrómicos empieza con 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, etc. Los dos últimos suman 666 = 313 + 353.

ח

El número 666 es igual a la suma de los dígitos de su potencia 47, y también a los de la 51:

666⁴⁷ = 5049969684420796753173148798405564772941516295265408188117632668936540446616033068653028889892718859670297563286219594665904733945856

666⁵¹ = 993540757591385940334263511341295980723858637469431008997120691313460713282967582530234558214918480960748972838900637634215694097683599029436416

Este caso es único. Por cierto, de las potencias 47 y 51 obtenemos (4+7)(5+1) = 66.

ט

666 iguala la suma de los cubos de los dígitos de su cuadrado más los del cubo. Además:

666² = 443556
666³ = 295408296

Y al mismo tiempo:

(4³ + 4³ + 3³ + 5³ + 5³ + 6³) + (2+9+5+4+0+8+2+9+6) = 666.

י

¡666 está también relacionado con el número áureo! Veamos estas igualdades, donde los ángulos están medidos en grados:

sin(666) = cos(6·6·6) = -f/2

que pueden combinarse así:

f = - [sin(666) + cos(6·6·6)]

כ

Hay dos formas de insertar los signos + y – en la secuencia 123456789 para formar el 666, y una para la secuencia 987654321:

666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 123 + 456 + 78 + 9
666 = 9 + 87 + 6 + 543 + 21

ל

Un número de Smith cumple que la suma de los dígitos de sus factores primos iguala la de los dígitos del propio número. 666 es un número de Smith, pues:

666 = 2·3·3·37

mientras que, al mismo tiempo:

6 + 6 + 6 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7

מ

La función j(n) o indicador de Euler indica cuántos números existen menores que n y primos con él. Pues bien:

j (666) = 6·6·6

נ

666⁶ = 87266061345623616, que contiene 6 seises.  Además, sus dígitos 666⁶ pueden ser partidos en dos subconjuntos de dos formas distintas; cada uno de ellos lleva al mismo valor, 36 (=6∙6).

Los primeros 6 y los últimos 9 dígitos suman 66:

8 + 7 + 2 + 6 + 6 + 0 + 6 + 1 = 6 x 6 = 3 + 4 + 5 + 6 + 2 + 3 + 6 + 1 + 6

mientras que los seises y los no seises también llevan a la misma suma:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 x 6 = 8 + 7 + 2 + 0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 2 + 3 + 1

ס

Llamaremos p(n,d) el conjunto de los dígitos decimales que parten del lugar n-simo después de la coma. Entonces:

p (666,3) = 7·7·7

Y también esta otra, que contiene nada más que seises y treses (y dos veces 666):

p(666 · 3.663663663..., 3) = 666

ע

El número 60606, formando insertando ceros, tiene también interesante propiedades:

60606 = 7 ´ 13 ´ 666 = 91 ´ 666 = T(13) ´ T(36).

T(n) designa el número triangular de orden n.

60606 = 7 ´ 37 ´ (13 ´ 18). Es curioso que el número es mencionado en Apo 13,18.

60606 tiene exactamente 6 factores primos.

60606+1 es primo, y además el período de 1/60607 alcanza el máximo valor, 60606.

60606 es, como 666, la suma de dos primos palindrómicos:

60606 = 30203 + 30403.

פ

Esta bonita foto fue tomada por Keith en el cuantakilómetros de su coche.

666666 es palindrómico tanto en base 10 como en base hexa-decimal, A2C2A.

צ

p = 902659997773 es el menor número primo cuyo recíproco tiene la longitud 666.

El expresado período es:

000000000001107836840523732794015856393629176199911567364459553453849096605279881838076680979988886781773038423114524370500571392445408560228574284480352437836776725525116619485115892576776519141738094220028289530945207260114524370499463555604884827434558428086723261636865158160657066031266795971496
637303661413240039402749172168836999999999998892163159476267205984143606370823800088432635540446546150903394720118161923319020011113218226961576885475629499428607554591439771425715519647562163223274474883380514884107423223480858261905779971710469054792739885475629500536444395115172565441571913276738363134841839342933968733204028503362696338586759960597250827831163

ק

Curiosidad: si se vuelve boca abajo p, hay un 666 cerca del centro, y si se vuelve boca abajo 1/p, hay un 66666666666 también cerca del centro.

ר

Una secuencia interesante es:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149...

que son los primos cuyo período de su recíproco tiene la mayor longitud posible (p-1). El último de ellos, 1/149 (período de longitud 148) es el siguiente:

0067114093959731543624161073825503355704697986577181208053691275167785234899328859060402684563758389261744966442953020134228187919463087248322147651

¡Su suma es 666! Si el período es escrito en un la primera fila de un cuadrado de 148´148, en la segunda el de 2/149 y así sucesivamente, el resultado es un cuadrado pseudomágico de 148´148, donde cada fila o columna suman 666.

ש

El primer primo tras el cual hay 666 compuestos antes del siguiente primo es

18691113008663

¡Obsérvense los 3 seises!

ת

Curiosidad aritmética: las fracciones del tipo:

1666 = 1

6664 4

pueden ser “canceladas” en sus seises.