El binario que corresponde a
153 es el palíndromo 10011001. Cada componente del palíndromo es a su vez
simétrico, por lo que, puesto que 1001(2) = 9, el número también
sería palindrómico en base 16: 153 = 99(16).
El 153 tiene las propiedades
más inesperadas. Otra, por ejemplo: 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!. Otra más: 153 = 6!! + 7!!. Su
importancia trasciende incluso al campo balompédico: 153 es el número de goles
marcados por Basora en sus años de jugador en el Barça.
En fin, vamos a estudiar una
de sus propiedades más interesantes. Phil Kohn, de Israel, descubrió que sumando los cubos de los dígitos de cualquier
múltiplo de 3 y reiterando el procedimiento, se llega siempre al 153[1]. Por ejemplo, probemos con
882:
882: 83
+ 83 + 23 = 512 + 512 + 8 = 1032
1032: 13 + 03 + 33 + 23 =
1 + 27 + 8 = 36
36: 33
+ 63 = 27 + 216 = 243
243: 23
+ 43 + 33 = 8 + 64 + 27 = 99
99: 93
+ 93 = 729 + 729 = 1458
1458: 13 + 43 + 53 + 83 =
1 + 64 + 125 + 512 = 702
702: 73
+ 03 + 23 = 343 + 8 = 351
351: 33
+ 53 + 13 = 27 + 125 + 1 = 153
Han hecho falta ocho
reiteraciones para legar al 153: podríamos llamar a ese valor la “distancia al
lago de Tiberíades”, y representarla por T.
Vamos a efectuar un breve
estudio de dicha distancia. Es obvio que cuanto mayor sea el número mayores
serán las sumas parciales anteriores, por lo que T tenderá a aumentar. El caso
es sin embargo, que lo hace de una forma muy lenta. En ningún caso, para
valores de N inferiores a 3.000.000, se han obtenido valores de T superiores a
14.
Podemos ver el espectro de
distribución de T en las siguientes tablas:
|
DISTANCIAS A TIBERÍADES |
||||||
|
T |
Nmax |
Nmax |
Nmax |
Nmax |
Nmax |
Nmax |
|
|
30 |
300 |
3.000 |
30.000 |
300.000 |
3.000.000 |
|
0 |
0.00% |
1.00% |
0.10% |
0.01% |
0.00% |
0.00% |
|
1 |
0.00% |
1.00% |
1.10% |
0.39% |
0.16% |
0.06% |
|
2 |
20.00% |
8.00% |
4.50% |
2.96% |
2.96% |
2.65% |
|
3 |
30.00% |
11.00% |
6.80% |
7.22% |
6.28% |
5.95% |
|
4 |
10.00% |
9.00% |
8.00% |
7.05% |
6.98% |
6.80% |
|
5 |
20.00% |
12.00% |
11.80% |
13.13% |
12.03% |
10.50% |
|
6 |
0.00% |
16.00% |
14.90% |
13.23% |
11.97% |
10.93% |
|
7 |
0.00% |
10.00% |
13.60% |
12.87% |
12.89% |
13.49% |
|
8 |
0.00% |
10.00% |
9.30% |
10.82% |
11.10% |
12.22% |
|
9 |
0.00% |
6.00% |
10.80% |
8.52% |
7.77% |
7.82% |
|
10 |
20.00% |
12.00% |
8.10% |
8.75% |
10.42% |
10.97% |
|
11 |
0.00% |
3.00% |
5.30% |
5.37% |
5.68% |
6.04% |
|
12 |
0.00% |
0.00% |
5.10% |
7.72% |
8.80% |
8.85% |
|
13 |
0.00% |
1.00% |
0.60% |
1.12% |
2.06% |
3.11% |
|
14 |
0.00% |
0.00% |
0.00% |
0.84% |
0.93% |
0.59% |
|
m |
4.70 |
6.12 |
6.86 |
7.20 |
7.46 |
7.62 |
|
s |
2.83 |
2.75 |
2.75 |
2.85 |
2.91 |
2.90 |
Cada columna tras la T se
refiere a las frecuencias relativas con que se han registrado las diferentes
distancias en cada intervalo. El primero corresponde a los 100 primeros
múltiplos de 3, es decir, a N £ 300. La segunda a N £ 3000 (o sea que sus valores
incluyen los de la primera columna), y así sucesivamente.
Obsérvese que las
frecuencias se mantienen bastante constantes pese a la importante variación
numérica de N, lo que se visualiza
más en la gráfica. Existe, naturalmente, un leve aumento, ya que lógicamente,
cuanto más largo es un número, mayor será la primera suma de los cubos de sus
dígitos, lo que alargará T. Pero la
evolución de T es insignificante,
como se comprueba con las dos últimas filas de la tabla. En la penúltima, que
refleja los valores de m (media de T), el aumento es de tipo logarítmico
muy amortiguado: al pasar de Nmax = 300000 a Nmax = 3.000.000,
apenas varía, de 7,46 a 7,62.
Evolución similar sufre la
desviación típica de ellos valores de T.
Curiosamente, en el último intervalo, el valor s empieza a
disminuir. ¿Tendrá continuidad esa tendencia más adelante? He aquí un campo
abierto a la investigación.
JMAiO,
sep 99