De
visita, no más que de visita
No había dejado de pensar en ello,
una vez me asaltó la idea luego de haber leído ese detalle incluido, a modo de
reseña, en un libro de divulgación. Es el caso que, al parecer, Fermat (1601 –
1665) creyó haber dado en su momento con una fórmula sencilla para generar
números primos:
y así se lo comunicó en una carta a
su compatriota el monje Marin Mersenne, con el que mantenía correspondencia
frecuente. Está claro que esta expresión no cumplía el sueño de ser la fórmula
madre de todos los primos, pero Fermat creía que para cualquier n el resultado F(n) es un número primo. Como todas las conjeturas, ésta tiene cierto
fundamento, como podemos ver:
F(1) = 5; F(2) = 17; F(3) = 257;
F(4) = 65 537;
F(5) = 4 294 967 297; F(6) = 18 446 744 073 709 551 617
Hasta F(4) son todos
primos fácilmente comprobables. En cuanto a F(5) algún error debió cometer
Fermat con las comprobaciones, ya que hemos de suponer que al menos debía ser
costumbre entonces someter el número a la prueba de los primos menores que mil,
tabulables sin esfuerzo. De haberlo hecho concienzudamente Fermat hubiera
encontrado que 641 (el primo número 116) divide a F(5). El tamaño de F(6), un
número de veinte cifras, quedaba ya desde luego muy por encima de las
posibilidades de la época: por el método de las divisiones hace falta probar 23
974 primos, hasta dar con el factor 274 177.
Me daba mucha pena que
la cosa quedara así, con nuestro sabio seducido por lo que no era sino una
ilusión, y aunque me había prometido a mí mismo no volver a hacer uso de la máquina, la idea fue tomando cuerpo
hasta convertirse en una obsesión. La había construido, y de eso hacía ya
mucho, con la ayuda de Paco, al poco de haber leído ambos la novela de Wells
(bueno, sí, H. G. Wells). Pero desde que mi amigo hizo aquel viaje sin regreso
—se había enamorado, me dijo, y de nada valió que le tratara de convencer de que
eso de los sentimientos son cosa subjetiva y para colmo relativa— ya no volví a
realizar incursiones, entre otras razones porque, aunque la máquina era
monoplaza, siempre compensaba comentar la experiencia. Nos habíamos juramentado
para no perturbar en demasía el pasado. Desde luego nada de visitas a entornos
familiares, para evitar líos con la paradoja del abuelo; y silencio absoluto
acerca de inventos o hechos de trascendencia histórica. Tampoco debíamos
visitar nuestro propio pasado vital, por posibles problemas con las curvas de
tipo temporal cerradas de Gödel. A pesar de todo, se objetará, está el efecto
mariposa. Y a eso respondo que sí, que desde luego, pero que el curso de la
vida y de los acontecimientos no deja de ser una madeja de efectos mariposa, de
modo que un aleteo más o menos no ha de tener importancia. «El ruido del trueno», ese bello cuento de Ray Bradbury no es sino
solamente eso: un cuento.
Desde lo de Paco había
dejado la máquina instalada en el doble fondo de un armario del garaje, donde
nadie podía sospechar nada. Seguía siendo tan tosca como cuando la fabricamos: palancas,
reostatos, relés, ruedas numeradas procedentes de una calculadora mecánica
robada de la oficina de un tío de mi amigo, y algún cable que otro. Hacía
tiempo que no la engrasaba, por cierto. Pero estaba decidido. A través de una
amiga de mi hija, que se ocupa de la coreografía y del atrezo de una pequeña
compañía de teatro, me hice con un traje de francés provinciano acomodado de
mediados del siglo XVII. Las coordenadas de la villa de Toulouse (estuve
dudando entre esa ciudad y Beaumont-de-Lomagne) no fueron difíciles de hallar,
y para el momento elegí el año de 1640 y un día del mes de mayo, que tampoco
era cosa de exponerse al frío ni al calor. Para pasar inadvertido cuidé de
encerrar mi ordenador portátil en una maleta de madera que casualmente guardaba
como recuerdo. Y nada más, porque a fin de cuentas la máquina —tanto Paco como
yo no pasábamos de ser simples aficionados— solamente era capaz de crear una
burbuja espacio temporal de un día de duración y unos escasos miles de
kilómetros de radio de acción.
Así que no lo pensé más
y para allá que me catapulté. Aparecí en una plaza cercana al río y preguntando
aquí y allá di con la morada de monsieur de Fermat. Hallé entreabierta la
puerta de la casa, de modo que asomé la cabeza y ensayé un «Bonnes, a la paix
de Dieu!» (Buenas, a la paz de Dios) que es como supuse que se debía presentar
uno entonces[1]. De una
habitación no alejada me llegó el sonido del arrastrar de una silla y al poco
tenía ante mí a un hombre que frisaba los cuarenta y que me contemplaba con
reserva.
—Bonjour— le
dije —Moi, je viens avec l’intention de parler avec vous des nombres premiers.
El caballero no dijo
nada, y me seguía mirando con cierta perplejidad.
—Excusez-moi— le dije, al darme
cuenta de que no me había presentado —Moi, je m’apelle Pierre, et je viens de
l’Espagne—y señalé en dirección al sur. Aunque todavía no un estado, España
quedaba entonces efectivamente al sur de Francia.
Seguía la actitud de
reserva. No quería entretenerlo, de modo que saqué el portátil de la maleta y
lo abrí allí mismo. Como lo había dejado en modo de latencia fue cosa de poco
tiempo el presentarle el cuaderno de notas de Mathematica. Todas las fórmulas estaban preparadas de antemano, así
que una vez me cercioré de que mi visitado reconocía sus propios primos
potenciales pulsé Mayúsculas-Intro tras la expresión
FactorInteger[4294967297]
y enseguida pudimos ver la respuesta
{{641,1},{6700417,1}}. Para mi asombro, no hizo falta que yo explicara nada. Es
listo, este puñetero, me dije para mis adentros (siempre que me veo forzado a
reconocer la inteligencia de alguien no puedo evitar añadir un epíteto
denigrante). Tras un instante tenso escuché un
—Parbleu! — que
contenía una mezcla de estupor y de queja, a lo que siguió —Pero señor, yo
hablo su lengua. Tenga la bondad de tomar asiento y esperar un momento, por
favor — me pidió en un castellano fluido, sin ni siquiera esa erre gutural que
yo esperaba como irremediable, a la vez que me señalaba un confortable asiento.
No tardó mucho en volver. Yo le tenía reservada otra sorpresa.
—Regardez!— le dije, y
volví a la carga con
FactorInteger[18446744073709551617]
para obtener inmediatamente
{{274177,1},{67280421310721,1}}. Nuestro hombre, tras un instante de mal
disimulado asombro, volvió a retirarse a su estudio, para volver antes de lo
que yo esperaba.
—D’où venez vous? — me
espetó sin más.
—Moi, je viens
du future— le dije, dejándome de tapujos.
No pareció
sorprenderse, aunque permaneció un momento pensativo. Se retiró de nuevo y
regresó pronto entregándome un papel en el que se hallaba escrito el número de
doce dígitos 100 895 598 169. No sabía de qué se trataba, pero supuse que
quería que lo procesara del mismo modo, así que escribí la instrucción
FactorInteger[100895598169]
y la respuesta fue igualmente
inmediata: {{112303,1},{898423,1}}. Esta vez nuestro hombre se mostró
alborozado.
Había llegado el
momento de irme. Yo quería que nuestro sabio no muriera sin conocer la verdad
acerca de sus pretendidos primos, pero tampoco quería cambiar el devenir
natural de las cosas, así que le hice prometer que guardaría el secreto.
—Os ruego, señor, que
no hagáis nada en lo que respecta a vuestros números F(5) y F(6). Las cosas han
de seguir como si lo que os he mostrado no hubiera sucedido.
—No ha lugar para la
preocupación. Debéis saber que por mi oficio estoy habituado a guardar
secretos. Particularmente —añadió mientras me dirigía una mirada de soslayo que
no supe interpretar— si se me pide explícitamente.
Como no di importancia
al añadido, lo que dijo me tranquilizó. Así que me despedí con toda la cortesía
que pude exhibir y que imaginé apropiada, y me retiré a un bosquecillo cercano
para esperar el efecto de la implosión retráctil espontánea del seudópodo
espacio temporal desplazado, cosa que tuvo lugar apenas se insinuaba la caída
de la tarde.
De vuelta a casa, y esa
misma noche, reparé en que no había prestado atención al número que me había
presentado Fermat. Como no había apagado el portátil pude rescatarlo. Allí
seguía escrito en el notebook: 100895598169. Consulté mis libros hasta
encontrar una referencia sobre el mismo. Resulta que se trataba de un número
que el Padre Mersenne le había propuesto
a modo de desafío ¡y que Fermat había factorizado!, toda una hazaña para la
época (pensemos que el menor de los factores ocupa el lugar 10 650 de la
secuencia de números primos). Y entonces fue cuando me di cuenta de que no le
había exigido ninguna promesa acerca de la descomposición factorial de ese
número. No consigo desembarazarme de la impresión de que nuestro sabio me coló
un gol de campeonato. No en vano es francés el dicho «Les promesses
n'engagent que ceux qui les écoutent».
¿Y cuál fue la
continuación de la historia? Los libros dicen que F(5) hubo de esperar a que el
inevitable Leonhard Euler lo desenmascarara en 1732. En cuanto a Fermat seis,
resistió hasta que un caballero de ochenta y dos años, F. Landry, lo
descompusiera en sus factores primos en el siglo XIX. La realidad, como de
costumbre, es siempre más poética que la fantasía.
Post Scriptum:
En el libro «Recreations
in the Theory of Numbers», de Albert H. Beiler (y ex–libris de Francesc
Castanyer), del año 1961, se incluye una tabla con el estado del conocimiento a
la fecha relativo a los números de Fermat. De F(7) se supone que ha de tener
dos o tres factores, no menores que 2^32, y de F(8) se ignora por completo su
naturaleza. Para números de orden superior se presenta a veces un divisor, pero
en ningún caso se conocen todos los factores. Después de tanto tiempo transcurrido
desde entonces, podemos añadir que:
F(7) se descompone en factores de
forma casi inmediata mediante Mathematica:
F(7)=2^(2^7)+1=2^128+1=
{{59649589127497217,1},{5704689200685129054721,1}}
Para F(8) ha sido necesario plantear
la cuestión a Mathematica y dejar el
ordenador ‘pensando’ durante casi
cinco horas (Timing[PrimeQ[2^256+1]]) para encontrar la respuesta:
F(8)=2^(2^8)+1=2^256+1={{1238926361552897,1},
{93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321,1}}
F11 = 2^(2^11)+1=2^2048+1 fue
factorizado por Brent y Morain en 1988.
F(9) = 2^(2^9)+1 = 2^512 +1 fue
factorizado por A.K. Lenstra, H.W. Lenstra Jr., M.S. Manasse y J.M. Pollard en
1990.
F10 = 2^(2^10)+1=2^1024+1 fue
factorizado por Richard Brent, el cual encontró un factor de 40 dígitos el 20
de octubre de 1995. El cofactor es un número de 252 dígitos, lo que hubiera
representado una barrera difícil de vencer de haber sido compuesto. Por suerte
resultó que dicho número es también primo, lo que completó la descomposición
factorial.
Hasta donde sé, todavía
es una cuestión abierta la de si existe algún número de Fermat primo por encima
de F(4), o si, de existir alguno, se cuentan en número finito (lo que se cree
que sería lo más probable en este caso) o bien hay una infinidad de ellos.
Los números de Fermat, inocentes
y pérfidos a un tiempo, representan un papel principal en la categorización que
hizo Gauss de los polígonos regulares que se pueden inscribir en un círculo con
la condición, impuesta por la escuela geométrica clásica griega, del uso
exclusivo de la regla y el compás. Gauss logró también (un mes antes de cumplir
los diecinueve años) la construcción del polígono de 17 lados. Tan orgulloso
estuvo de ese logro que se cuenta que expresó el deseo de que esa figura se
representara en su tumba. No se hizo así, pero en el monumento que le dedicó su
ciudad natal, Braunschweig, con ocasión del centenario de su
nacimiento, se grabó una estrella de diecisiete puntas; el cambio se debió al
propio grabador, que opinó que el heptadecágono sería confundido fácilmente con
un círculo.
P.
Crespo, agosto 2006