TRIÁNGULOS
CUADRADOS Y LA ECUACIÓN DE PELL
Un número es cuadrado si
responde a la fórmula N = m2,
y triangular cuando es del tipo N =
n(n+1)/2. ¿Puede ser ambas cosas a la vez? En efecto, ya lo mostró Euler.
Manipulemos las igualdades:
De donde, poniendo y = (2n+1); x = 2m, resulta la ecuación:
Que es un caso particular de
la ecuación de Pell, y2 = kx2
+ 1, con infinitas soluciones cuando k
no es cuadrado perfecto.
La ecuación se resuelve
desarrollando Ök en fracciones
reducidas continuas y aplicando unas técnicas de selección sobre ellas. El
mismo Euler proporcionó la solución. Si es un
un cuadrado triangular genérico, será:
Y también:
Éstos son los 10 primeros:
|
n |
un |
|
1 |
1 |
|
2 |
36 |
|
3 |
1,225 |
|
4 |
41,616 |
|
5 |
1,413,721 |
|
6 |
48,024,900 |
|
7 |
1,631,432,881 |
|
8 |
55,420,693,056 |
|
9 |
1,882,672,131,025 |
|
10 |
63,955,431,761,796 |
Los cuadrados triangulares
tienen muchas propiedades insólitas. Por ejemplo, dado uno de ellos, si es c el lado del cuadrado, y t el del triángulo, las fórmulas
siguientes:
proporcionan los lados x, x+1, z de un triángulo rectángulo de
catetos consecutivos.
Éstos son los 10 primeros:
|
c |
t |
|
3 |
5 |
|
20 |
29 |
|
119 |
169 |
|
696 |
985 |
|
4,059 |
5,741 |
|
23,660 |
33,461 |
|
137,903 |
195,025 |
|
803,760 |
1,136,689 |
|
4,684,659 |
6,625,109 |
|
27,304,196 |
38,613,965 |
Pueden hallarse más detalles
en el artículo Hexes y estrellas, del
libro Viajes por el tiempo y otras
perplejidades matemáticas, de Martin Gardner.
JMAiO,
Salou, jul 02