SUMATORIOS DE SUMATORIOS

 

Recientemente fue planteado en el seno de Mensa un problema relacionado con sumatorios de números. Como es bien sabido, la fórmula que da la suma de los primeros n números enteros es:

 

 

Estas sumas son conocidas con el nombre de “números triangulares”, pues se corresponden con el número de puntos de una malla triangular de lado n. La pregunta inmediata es: ¿cuál será la suma de los primeros n números triangulares? La aparición de los números combinatorios en las sumas no es fortuita, pues el cálculo lleva pronto a:

 

 

La suma de los primeros números triangulares serán los números tetraédricos, y así sucesivamente. ¿Existirá alguna fórmula que dé directamente la suma de los primeros números n-dimensionales concebidos de esta forma?

De hecho, el problema coincide con el del cálculo de las progresiones aritméticas de orden superior, llamado así a aquellas cuyas diferencias entre términos consecutivos forman a su vez otra progresión de un grado inferior. Por ejemplo, observemos la siguiente sucesión y las sucesivas sucesiones formadas por las diferencias entre sus elementos:

 

5       11        20        33        52        80        121

6         9        13        19        28        41

3         4          6          9        13

1         2          3          4

1         1          1

 

La penúltima fila es una progresión aritmética ordinaria, la anterior una de segundo orden, la anterior una de tercero, y por tanto la primera fila será una progresión aritmética de cuarto orden.

De hecho, la fórmula anterior dada para los números triangulares, o sea progresiones aritméticas de segundo orden, es un caso particular de la general para orden p:

 

 

Donde Dpf(0) son  las diferencias n-simas de la progresión. Desde luego, Dp+1f(0) =0.

 

***

 

Otro tipo de progresiones son más complicadas. Sea Sk la suma de las primeras potencias k-simas hasta n, o sea:

Cuadro de texto:

Los primeros casos son muy sencillos:

 

 

No he podido encontrar una fórmula para las sumas en general, y dudo que exista. La fórmula recurrente que relaciona las sucesiones de ese tipo es:

 

 

En algunos casos particulares surgen fórmulas muy espectaculares:

 

 

Siendo Bp los correspondientes números de Bernouilli.

 

                                                                         Josep M. Albaigès

                                                                         Barcelona, diciembre 1999