Sumatorios de sumatorios (A. Nevado)

A propósito del artículo publicado en la última edición de [C] ([C] 70) con el título “Sumatorios de sumatorios” quisiera hacerles llegar los siguientes resultados: en primer lugar las fórmulas correspondientes para las sumas de los n primeros números elevados a k –hasta siete– denotada de ahora en adelante como S_k .

En segundo y último lugar, el procedimiento seguido para alcanzar los anteriores resultados, y de una forma más general para cualquier valor de k entero. Como premisa al razonamiento basta observar que la suma S_k responde a un polinomio de grado k+1. Por tanto aparecerán k+2 incógnitas –en el peor de los casos– por resolver, utilizando para crear el correspondiente juego de ecuaciones las k+2 primeras sumas, es decir, S_k(1), ..., S_k(k+2), obtendremos un sistema lineal compatible determinado. La validez de esta conjetura va más allá de la mera experimentación, pues posiblemente podría demostrarse formalmente por inducción.

A continuación se muestra el desarrollo precedente de forma genérica

Resulta fácil por tanto para un k arbitrario (siempre perteneciente a los números enteros), calcular la fórmula que rige la suma de las n primeras potencias de orden k.

Se adjunta código Maple para la resolución simbólica mediante el ordenador, de los sistemas necesarios para calcular los coeficientes de los polinomios dados.

> k:=4: #Orden de las potencias a sumar

> f:=(i,j)->i^(k-j+2): #Función de índices.

> Mb:=Matrix(k+2,k+2,f):

> sp:=(i,j)->sum(n^k,n=0..i):

> Ma:=Matrix(k+2,1,sp):

> MCoef:=Mb^(-1).Ma; #Matriz de coeficientes