LAS SUCESIONES ARD

1. Propiedades

Es frecuente hallar en las secciones de pasatiempos matemáticos de las revistas la siguiente proposición: hallar el término siguiente de una sucesión del tipo

320, 325, 335, 346, 359...

No es excesivamente difícil el problema: en el caso presente, el número buscado es 376, suma de 359+3+5+9. Es decir, que cada término se forma sumando al anterior sus cifras constituyentes, valor al que se llama “reducido digital” (RD) del número. Propongo llamar a este tipo de sucesiones “Acumulativas del reducido digital” (en breve, ARD), por analogía con las dedicadas al famoso matemático, cuyos términos están formados, respectivamente, por combinación lineal de varios de los anteriores. Llamaremos "derivado digital" de un número a la suma de éste con su RD, es decir, si el número es x = x_lx₂...x_n, será:

Es obvio que una serie ARD quedará determinada por dos parámetros: su término unicial u_o y la base de numeración B. Si u_o es el derivado digital de otro número, la sucesión ARD estará contenida en la iniciada por éste, y así sucesivamente.

Fácilmente se ve que existen series ARD "irreductibles", en el sentido de que su primer término no es derivado digital de ningún otro número. Llamaremos "primos ARD" a esta clase de números: todas las sucesiones ARD imaginables se reducirán a las iniciadas por "primos ARD".

E1 ordenador permite calcular fácilmente las sucesiones ARD. Limitándonos por el momento a las de base decimal, fácilmente se averiguan los "primos ARD" inferiores a 1000, que son:

Primos ARD menores que 1000
1	75	176	277	378	479	580	681	782	883	984
3	86	187	288	389	490	591	692	793	894	995
5	97	198	299	400	501	602	703	804	905
7	108	209	310	411	512	613	714	815	916
9	110	211	312	413	514	615	716	817	918
20	121	222	323	424	525	626	727	828	929
31	132	233	334	435	536	637	738	839	940
42	143	244	345	446	547	648	749	850	951
53	154	255	356	457	558	659	760	861	962
64	165	266	367	468	569	670	771	872	973

Resulta interesante efectuar otra tabulación sobre la presencia relativa de primos Fd, que nos dará su densidad. Primera sorpresa: ésta no decrece como la de los primos ordinarios, sino

que se mantiene aproximadamente constante:

Intervalo	Pr. ARD	Intervalo	Pr. ARD	Intervalo	Pr. ARD	Intervalo	Pr. ARD	Intervalo	Pr. ARD
1-100	10	2001-2100	9	4001-4100	8	6001-6100	8	1-1000	102
101-200	10	2101-2200	10	4101-4200	10	6101-6200	10	1001-2000	98
201-300	10	2201-2300	9	4201-4300	10	6201-6300	10	2001-3000	98
301-400	10	2301-2400	10	4301-4400	10	6301-6400	10	3001-4000	98
401-500	9	2401-2500	10	4401-4500	10	6401-6500	10	4001-5000	98
501-600	10	2501-2600	10	4501-4600	10	6501-6600	10	5001-6000	98
601-700	10	2601-2700	10	4601-4700	10	6601-6700	10	6001-7000	97
701-800	10	2701-2800	10	4701-4800	10	6701-6800	10	7001-8000	98
801-900	10	2801-2900	10	4801-4900	10	6801-6900	10
901-1000	10	2901-3000	10	4901-5000	10	6901-7000	9
1001-1100	9	3001-3100	9	5001-5100	8	7001-7100	9
1101-1200	10	3101-3200	9	5101-5200	10	7101-7200	10
1201-1300	10	3201-3300	10	5201-5300	10	7201-7300	10
1301-1400	9	3301-3400	10	5301-5400	10	7301-7400	10
1401-1500	10	3401-3500	10	5401-5500	10	7401-7500	10
1501-1600	10	3501-3600	10	5501-5600	10	7501-7600	10
1601-1700	10	3601-3700	10	5601-5700	10	7601-7700	10
1701-1800	10	3701-3800	10	5701-5800	10	7701-7800	10
1801-1900	10	3801-3900	10	5801-5900	10	7801-7900	9
1901-2000	10	3901-4000	10	5901-6000	10	7901-8000	10

Dicho valor constante es aproximadamente 1/l0. Se explica fácilmente este hecho observando la forma en que la serie natural se genera a sí misma: cada decena natural consecutiva genera otra de componentes desplazados en dos unidades. Por ejemplo:

(30, 31,... 39) → (33, 35, ... 51)

(40, 41,... 49) → (44, 46,... 62)

(50, 51,... 59) → (55, 57,... 73)

Las nuevas decenas inducidas se enhebran entre sí, pero no totalmente, debido a su lento desplazamiento hacia adelante. En el caso anterior, dejarían un "hueco", el 53, que vemos por la tabla que es un "primo ARD".

Es lógico, por tanto, que la densidad de "primos ARD" tienda a situarse en torno a 1/11, distancia entre dos consecutivos. Pero los cambios de centena introducen unas perturbaciones, a las que se suman además los números "multigenerados", es decir, los que

son derivados digitales de más de un número. El primer bigenerado es 101:

101 = 91 + 9 + 1 = 100 + 1 + 0 + 0

Los bigenerados aparecen en tropel rebasada la primera centena (103, 105, 107, 109...), pero pronto escasean, no influyendo sensiblemente en la densidad de "primos ARD", aunque empujándola a valores entre 1/11 y 1/10, como hemos visto.

¿Existen trigenerados? Su gran reareza me indujo a creerlos inexistentes al principio. Los hay, pero el más bajo es ciertamente elevado: 10¹³+1:

10.000000.000001 = 10.000000.000000 + 1 =

= 9.999999.999901 + 9 + 9 +...+ 9 + 1 =

=10.000000.000001 = 9.999999.999992 + 9 + 9 +... 2

¡Y el primer trigenerado es mucho mayor todavía: 10²⁴ + 2! Como vemos, estos números no alterarán sensiblemente la densidad antes vista, al menos para los valores “humanos”.

Pasemos ahora a otras bases, pero mantengámonos por el momento en las pares. Resulta lo que cabía esperar: la densidad de "primos ARD" se mantiene en torno a 1/b, si bien, al disminuir la base, aparecen antes los trigenerados, por lo que la distorsión respecto a este valor esperado es ya sensible. Los "primos ARD" en base 2 son:

Primos Fd					Intervalo	No. Primos
1	102	207	303	401	1-100	26
4	104	209	305	404	101-200	27
6	111	212	308	407	201-300	23
13	113	215	311	409	301-400	26
15	116	217	313	416	401-500	26
18	119	224	320	423	501-600	25
21	121	226	328	425	601-700	28
23	128	231	335	432	701-800	22
30	130	233	337	434	801-900	26
32	133	240	340	437	901-1000	25
37	135	242	343	440
39	142	245	345	442
46	144	248	352	449
48	147	250	354	457
51	150	270	359	464
54	152	272	361	466
56	159	275	368	469
63	161	278	370	472
71	166	280	373	474
78	168	287	376	481
80	175	289	378	483
83	177	294	385	488
86	180	296	387	490
88	183		390	497
95	185		392	499
97	192		399	502
	200			505
				507

Salta a la vista la irregularidad de la sucesión. Ésta se aprecia mejor disponiendo en un gráfico las deiferencias entre primos consecutivos.

El primer trigenerado aparece pronto: es 10.00001 (129 en base 10), derivado digital de 123, 125 y 128 (todos en base 10):

10.000001 = 1.111011 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =

= 1.111100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10.000000 + 1

Los siguientes son 134, 386, 391... E1 primer tetragenerado es también relativamente bajo: 1.000000.000110 (4102 decimal), derivado digital de 4091, 4092, 4099 y 4100.

Todas estas leyes cambian aparatosamente al pasar a bases de numeración impares. La densidad de "primos ARD" vale en ellas siempre exactamente 1/2, ya que todos las números impares son "primos ARD". En efecto, un teorema análogo al de los residuos en base 9 en la numeración decimal, establece que en una base impar la suma de las cifras constituyentes de un número tiene la misma paridad que éste (por ejemplo, en base 3, 100122 (260 en decimal) es par, y par es la suma de sus cifras). Por lo tanto cualquier número, par o impar, origina un número par al ser sumado a sus cifras.

La aparición de multigenerados es muy rápida en las bases impares. Así, en base 3 tenemos:

Bigenerados: 4, 8, 10, 12, 14, 18...

Trigenerados: 28, 32, 56, 60...

Tetragenerados: 248, 492, 976...

¿Existen "primos ARD" pares en bases impares? Analizadas con computador los primeros miles de ellos, no ha sido posible encontrar ninguno en ninguna base. Pero no he podido demostrar la conjetura, pese a parecer tan fácil. ¿Se tratará de una suposición análoga

a la de Goldbach sobre que todo número par es suma de dos primos? Ojalá alguien se anime a investigar por este camino.

2. Leyes estadísticas.

La aparición de términos en las sucesiones ARD es irregular, de forma análoga a la de los primos. ¿Podría vaticinarse una ley, siquiera aproximada, que regulara la cuantía del n-simo término de una sucesión ARD?

Puede aplicarse para obtenerla el siguiente razonamiento, que no desarrollaremos con rigor: el valor medio de una cifra es (0+1+2+...+ +9)/10 = 4,5. Y el número de cifras de un número viene dado precisamente por su logaritmo decimal. Por tanto, podemos tomar:

Σcifras = 4,5 log x

Es decir:

g(x) = x + 4,5 log x

Esta función constituirá una aproximación de la verdadera función ARD, que se definiría así:

f (n+l) = f(n) + Σcifras(n)

Por el teorema de la derivada, podrá escribirse aproximadamente:

f(n+l) ≈ f(n) + f’(n)

De donde:

f’(n) = 4,5 log f(n)

O sea:

En la página siguiente podemos comparar los valores de f(x) y de su aproximada g(x). Se ve claramente cómo una "ondula" alrededor de la otra, sin que, empero, llegue a perderse el contacto, como evidencia el cociente entre ambas.

JMAiO, 1985