¿DE UNA SOLA PESADA?

Introducción a la Ponderística, o arte no relativista del bien pesar.

José Antonio de Echagüe

A los viejos problemas les ocurre lo que a los viejos soldados, nunca mueren. Pero a diferencia de aquellos no se desvanecen lentamente, sino que periódicamente se reciclan.

Hace poco el profesor de “mates” de mi hijo menor, planteó a sus alumnos el viejo problema: un antiguo tirano siracusano exigió so pena de muerte a su tesorero averiguar con una sola pesada qué saco, de 20 dados - conteniendo numerosas pero no importa cuantas monedas de un libra cada una - guarda monedas falsas o defectuosas de, por ejemplo, 0,90 libras la pieza.

La solución, que mi hijo se sorprendió ingenuamente le diese yo de inmediato, es conocidísima de antiguo, como sabemos: una vez alineados y numerados los sacos, basta sacar una moneda del primero; dos de segundo, tres del tercero, y así hasta el último. La pesada de las monedas y un elemental razonamiento dan la posición exacta del saco con monedas defectuosas. Es de agradecer que todavía existan profesores que hagan ver a sus alumnos que la matemática no es solo un medio de cálculo, sino antes de todo una forma de pensar, o mejor de aprender a pensar.

El volver a comentar este problema me sugirió si no sería posible complicarlo un poco. El problema original da como datos el número de sacos; el peso de las monedas “buenas” y el de las “defectuosas”, ofreciéndonos una sola pesada para resolverlo. Supongamos ahora que se nos dice que existe un número n de sacos conteniendo monedas de peso desconocido. En uno de los sacos las monedas son defectuosas y a cada una le falta, o le sobra, algo de peso, igual para todas las defectuosa. ¿Sería posible, en estas condiciones, determinar en qué saco están las piezas defectuosas de una sola pesada?.

Siempre que nos den el valor de la diferencia de peso entre una moneda buena y las defectuosas, existe al menos una solución bastante simple, con una sola pesada, que únicamente requiere que den libertad de elegir el tipo de balanza en el que efectuarla.

Se supone que disponemos de una balanza con dos platillos y graduada, es decir que permite conocer la diferencia entre los pesos colocados en cada uno de aquellos, aunque no sepamos el peso correspondiente a dada uno.

La única pesada que se nos permite la realizaremos de la siguiente forma. Alinearemos los n sacos numerados del 1 al n . En el platillo A colocaremos una colección de monedas compuesta por una del saco 1; dos del saco 2,....y n del saco n.

En el platillo B colocaremos otra colección similar pero elegida de forma inversa; 1 moneda del saco n; 2 monedas del saco n-1;...y n monedas del saco 1. Evidentemente se supone que en cada saco no hay menos de n+1 piezas.

El fiel de la balanza señalará la diferencia entre las dos pesadas P(a) – P(b) = D, diferencia que puede ser positiva o negativa naturalmente. Con unos sencillos razonamientos llegamos a concluir que

P(a) –P(b) = D = - d. x + d.(n-x+1) = d.(n-2x+1)

Expresión en la el significado de cada símbolo es el siguiente:

· d. diferencia de peso entre una moneda “buena” y una moneda “defectuosa” ( positiva o negativa).

· n. número de sacos.

· x. Posición del saco defectuoso contando desde la izquierda.

La anterior expresión nos dice que, como era de esperar, la diferencia D es un múltiplo entero de d. De lo anterior resulta la posición en la fila, empezando por la izquierda ocupada por el saco de monedas defectuosas.

x = ½ ( D/d +n +1)

Que permite conocer la posición x en cuanto la pesada en nuestra balanza nos dé la diferencia D. Si se nos informa que dados 10 sacos, y que d = 0,5 grs., al obtener por la pesada descrita D = -2,5 grs., automáticamente sabremos que el saco con monedas defectuosas es el que ocupa la posición 3ª,contando por la izquierda. En efecto:

x = ½ (-2,5/0,5 + 10 +1) = 3

Con este procedimiento mejoramos de forma clara la eficiencia de la única pesada permitida, ya que ésta nos permite dar con la solución conociendo únicamente el valor de d, aún cuando desconozcamos a priori el peso de las monedas tanto buenas como defectuosas

Pienso que aún podríamos intentar mejorar nuestra medición, en el sentido de calcular la posición buscada con menos datos. En realidad, en muchos casos ni siquiera necesitaremos conocer de forma precisa la diferencia entre monedas “buenas” y “malas” (d). Consideremos que deben cumplirse las siguientes condiciones:

1º) La fracción D/d debe ser un número entero -comprendido entre( –1) y (+n-1) - cuya paridad viene determinada por la de n. Si el número de sacos es par/impar, entonces el número D/d, deberá ser impar /par

2º). Además existe una relación obvia entre los signos de D y d, que depende de la posición x , según la siguiente tabla ( x< ó > 1/2n, significa que x está a la derecha o a la izquierda del “centro” de la línea de sacos)

x>1/2n d>0 D>0	x centro D= 0	x<1/2n d>0 D<0
x>1/2n d<0 D<0	x centro D=0	x<1/2n d<0 D>0

Supongamos que el famoso Tirano de Siracusa nos presenta una fila de diez (n =10) sacos. Indicándonos que en uno de ellos las monedas son defectuosas con un cierto error de acuñación desconocido (d) sobre las correctas que llenan los otros nueve sacos, y no nos dan más datos. Con la balanza que conocemos y una sola pesada nos conmina a decir sin error cuál es el saco en cuestión, so pena de sabrán los dioses que horrendos castigos

Efectuada la única pesada autorizada, tal y como hemos descrito, resulta que P(a) – P(b) = D = +13,8grs.

Descomponiendo este resultado en factores resulta: 13,8 = +/- 2,3 x 2 x 3 . Para que el cociente D/d = 13,8/d arroje un número entero los valores posibles de d serán

2,3 x 2= 4,6; que lleva a 13,8/4,6 = +/- 3

2,3x3 =6,9; lo que supone que 13,8/6,9 = +/-2

Pero de estos dos valores sólo el primero es compatible con las restricciones señaladas, ya que al ser n =10 un número par entonces la fracción D/d debe ser un entero impar. Por lo tanto las únicas alternativas válidas para d son +4,6 y –4,6 , lo que nos da dos posibles posiciones:

x(-4,6) = ½ (13,8//-4,6 +10 +1) = 4

x(+4,6) = ½ (13,8/+4,6 +10 +1) = 7

Por supuesto ambos valores cumplen la restricción 2ª. El primero corresponde al caso de la casilla inferior derecha, y el segundo, simétrico, corresponde a la casilla superior izquierda. Observemos que a cada pareja de valores +/-d corresponden parejas de posición x cuya suma vale n+1. Evidentemente el caso D = 0 corresponde al caso en que, para n impar, el saco defectuoso ocupe justamente el centro de la alineación. En este caso particular no necesitaremos dato alguno para señalar sin error el saco en cuestión, pero no podremos conocer qué valor tenga la diferencia entre monedas “buenas” y “malas”.

(En realidad podríamos descomponer 13,8 de otras formas; p .e. 23x0,2x3 : ó 0,23x2x30. pero con estas factorizaciones, si no son prácticamente equivalentes a las anteriores, no lograremos un cociente D/d con valor entero de valor absoluto inferior a n-1, que nos impone la restricción 1ª)

Volviendo a nuestro ejemplo, vemos que sin contar por tanto con ningún dato, ya podemos limitar a dos las posibles posiciones buscadas. Si nos arriesgamos a dar una respuesta la probabilidad de acertar sería del 50%, que no está mal, teniendo en cuenta que partimos de una total ignorancia de datos.

Si, postrados a los pies del Tirano, éste se aviene a darnos un dato más: a saber: el defecto de las monedas es un menor peso, la posición quedaría en tal caso unívocamente determinada: el saco con monedas defectuosas es el número 4. De paso averiguamos que el déficit de peso de cada una de las monedas “malas” es de –4,6 grs. aunque no tengamos la menor idea del peso absoluto de las monedas.

Es decir con este proceso de pesada basta conocer, en nuestro ejemplo claramente preparado, el signo de d para resolver el problema Evidentemente no será difícil plantear el problema con datos tales que los divisores válidos de D sean dos únicamente (iguales con signos +/-), con lo que será suficiente conocer el signo de d. Pero puede ocurrir que D tenga varios divisores válidos, lo que complicará el asunto, y haría preciso conocer algún dato más, como por ejemplo una acotación de valores posibles, o algo parecido.

Estos resultados nos indican que la elección de una determinada forma de pesada nos proporciona un dato (D) que contiene mucha información. Esto puede ser algo más que un juego; en casos en que la experimentación, o la medida, es complicada o costosa, es fundamental obtener, con pocas mediciones, datos ricos en información implícita,

Las cuestiones que se suscitan son:

· Datos mínimos que deberíamos conocer de d para que el problema quede resuelto con carácter general.

· ¿No existirá una forma de pesada más eficiente que la que proponemos, que nos proporcione un dato con aún más información?

· ¿Y si hay más de un saco con monedas defectuosas, cuántas pesadas deberemos efectuar como mínimo?

JAE. Donostia, agosto 2.003

NOTA.

Evidentemente el Tirano no advierte que conocemos el sistema métrico decimal, lo que para nuestros propósitos es del todo irrelevante El escritor Agustín de Foxá llegó a decir, ridiculizando los encendidos discursos en pro de la Constitución de la II República, que eso de dar la vida por la Constitución le parecía algo así como inmolarse por el sistema métrico decimal (s. m. d). Pues bien hace algún tiempo leí que un comerciante del Reino Unido había preferido ir a la cárcel antes de ajustar sus pesos y precios al dichoso sistema, manteniendo en solitario el vetusto sistema británico de pesas y medidas. Es decir que pese a la ironía de Foxá el s.m d. no tendrá mártires, pero quizás empiece a causarlos.