SIETE PRIMOS EQUIDISTANTES

Cualquiera sabe que en toda sucesión del tipo a + kb (a primo con b; k=1,2,3,…) se hallan infinitos primos. Pero, claro, la mayoría de los términos de la sucesión son compuestos. Se nos ocurre preguntar si existirán largas series de primos consecutivos correspondientes a valores consecutivos de k. En otras palabras, primos consecutivos situados en progresión aritmética.

Para valores bajos la respuesta es obvia. Por ejemplo, una primera serie para k = (1,2,3) es 3,5,7. Los tres son primos. Para k=(1,2,3,4,5) aparece a primera vista otra sucesión próxima: 5,11,17,23,29, pero éstos no son primos consecutivos.

Las series van escaseando a medida que aumenta k. Hasta hace poco el récord estaba en k=(1,2,3,4,5,6) y fue hallada por Lander y Parkin. Recientemente Harvey Dubner ha hallado una mamotrética sucesión para k=(1,2,3,4,5,6,7). Los detalles del hallazgo pueden verse en la dirección electrónica http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mathematical_games.html.

Es fácil probar que la diferencia menor posible es 210. El problema realmente se descompone en otros dos:

· Hallar 7 primos con la diferencia común 210.

· Hallar 1254 números entre el primero y el último primo tales que sean todos compuestos excepto los indicados situados en el intervalo.

La primera condición permitiría buscar entre números pequeños, pero la segunda nos indica que la solución debe ser un número alto. En realidad, la búsqueda llevó 52 días de trabajo a un conjunto de siete ordenadores de alta velocidad trabajando con técnicas especiales de investigación de números primos y según procedimientos matemáticos especiales (resolución de ecuaciones modulares). El primer paso consistió en computar m, el producto de los 48 primeros primos:

m = 367009731827331916465034565

550136732339800312955331782619

462457039988073311157667212930

A continuación hubo que hallar la solución de 48 ecuaciones modulares, de la que resultó:

x = 118930613432425504731600916

625360539894173228870159415462

976014056809082107560202605690

Seguidamente hubo que buscar entre la sucesión P_i = x + Nm + 1, esperando que aparecieran 7 primos consecutivos en ella. El primer éxito se dio para:

N= 2968677222

De donde resultó el primer primo de la sucesión:

P₁ = 1089533431247

0593108757803789229577329080

3649299313819538521310556174

2150447308967213141717486151

Los restantes, claro, son P₂ = P₁ + 210; P₃ = P₂ + 210;… P₇ = P₆ + 210.

¡Una muestra más de matemáticas inútiles, pero bellas!

JMAiO