LOS REDUCIDOS DIGITALES

Llamaremos reducido digital (RD) de un número al que se obtiene sumando los valores absolutos de sus cifras (esto es, como en la prueba del 9). Sea c el número de cifras de este número, lo que indicaremos c = cif(N). Es fácil ver que el RD será siempre:

RD ≤ 9c

El número de cifras del reducido digital será, a lo sumo,

cif(RD) ≤ log₁₀ c + 1

Reiterando el procedimiento, fácilmente se halla que el "reducido final" de un número constará de una sola cifra, uno de los nueve dígitos.

Todo esto es muy conocido. Pero generalicemos el concepto a la suma de los cuadrados de las cifras, que llamaremos el "reducido de segundo orden". Por razones análogas a las anteriores, se halla que éste es:

RD₂ ≤ 81c < 100c

cif(RD₂) ≤ log c + 2

Reiterando, pronto se halla que el número tope, más allá del cual no puede remontarse ningún reducido a partir de un punto dado, vale 162 = 9² + 9². Bastará con estudiar los 162 primeros números para hallar todas las posibles convergencias de los reducidos de segundo orden. Se halla que éstas son sólo dos posibles:

· Número 1.

· Ciclo formado por los números 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20.

Examinados los números entre 1 y 1000, se halla que:

· 143 convergen al número l.

· 857 terminan el el "ciclo 4".

Pasemos ahora a los reducidos de tercer orden, es decir, los formados por la suma de los cubos. El "número tope" es ahora:

T = 2194 = 1³ + 9³ + 9³ + 93

Los ciclos y números de convergencia son ahora muy variados. Se han registrado los siguientes, con los órdenes indicados de presentación para los números entre 1 y 1000:

Ciclo	Frecuencia
101	101
55, 250, 133	518
136, 244	160
153	3333
160, 217, 352	438
370	1776
371	2937
407	396
919, 1459	341

Finalmente, en el caso del cuarto orden hallamos:

Ciclo	Frecuencia
1	56
1338, 4179, 9219, 13139, 6725, 4338, 4514	89134
1634	210
2178, 6514	4205
8208	6125
9474	270

Josep M. Albaigès

Barcelona, septiembre 1987