EL REBAÑO DE ARQUÍMEDES

 

Son muchos los problemas planteados por los grandes matemáticos clásicos que permanecen todavía sin solución. Algunos la han hallado recientemente gracias a la aparición de los ordenadores; los más conocidos son el de los cuatro colores y el del empaquetamiento de esferas (conjetura de Kepler). Otro recientemente demostrado es el de Fermat-Wiles[1].

Existe uno con estas características, menos conocido pero mucho más antiguo. Fue planteado nada menos que por Arquímedes (287-212 aJC) en su libro El calculador en la arena cuando dice:

 

Si eres diligente y sabio, oh, extranjero, calcula el número de cabezas de ganado del Sol…

 

Aunque el problema está redactado de forma algo ambigua, las interpretaciones más verosímiles lo reconstruyen así:

 

El dios sol tenía un rebaño formado por un cierto número de toros blancos, negros, moteados y amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal forma que:

·      El número de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros más los amarillos.

·      El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los moteados más los amarillos.

·      El número de toros moteados e igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos.

·      El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras.

·      El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta aparte de la suma de los toros moteados más las vacas moteadas.

·      El número de vacas moteadas es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más las vacas amarillas.

·      El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas blancas.

·      Además, a suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado.

·      Además, la suma de los toros moteados y amarillos es un número triangular.

 

 

Puesto en lenguaje actual, si llamamos:

Þ  W: Número de toros blancos.

Þ  X: Número de toros negros.

Þ  X: Número de toros moteados.

Þ  Y: Número de toros amarillos.

Þ  w: Número de vacas blancas.

Þ  x: Número de vacas negras.

Þ  y: Número de vacas moteadas.

Þ  z: Número de vacas amarillas.

 

El enunciado equivale al sistema de nueve ecuaciones diofánticas:

 

W = (½+1/3)X + Z                   X = (¼+1/5)Y + Z                  Y = (1/6+1/7)W + Z

w = (1/3+¼)(X+x)                    x = (¼+1/5)(Y+y)                   y = (1/5+1/6)(Z+z)

z = (1/6+1/7)(W+w)                  W + X = m2                                     Y + Z = n(n+1)/2

 

El sistema se reduce a la ecuación de Pell[2]:

 

u2 - 4729494v2 = 1

 

Su resolución mediante fracciones continuas lleva a los valores mínimos:

 

u = 109931986732829734979866232821433543901088049

v = 50549485234315033074477819735540408986340

 

Y ello conduce a la solución original del problema, que es aproximadamente:

 

N = 7,760271·10206544

 

 Es decir, un número con 206.545 cifras. Hasta recientemente no ha podido ser éste calculado con exactitud gracias al ordenador, Quien tenga curiosidad por verlo completo puede hacerlo en la dirección electrónica http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mathematical_games.html, por otra parte muy recomendable por otros muchos conceptos.

 

                                                                                     JMAiO, nov 97



[1]Fermat escribió una notra sobre la imposibilidad de hallar cuatro números enteros que satisficieran la igualdad xn + yn = zn: Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet. (Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.)

[2] Se llama ecuación de Pell a la diofántica de la forma u2 - kv2 = 1, siendo k no cuadrado perfecto, y (u,v) primos entre sí. Se resuelve mediante la descomposición de Ök en fracciones continuas.