EL
REBAÑO DE ARQUÍMEDES
Son muchos los problemas
planteados por los grandes matemáticos clásicos que permanecen todavía sin
solución. Algunos la han hallado recientemente gracias a la aparición de los
ordenadores; los más conocidos son el de los cuatro colores y el del
empaquetamiento de esferas (conjetura de Kepler). Otro recientemente demostrado
es el de Fermat-Wiles[1].
Existe uno con estas
características, menos conocido pero mucho más antiguo. Fue planteado nada
menos que por Arquímedes (287-212 aJC) en su libro El calculador en la arena cuando dice:
Si
eres diligente y sabio, oh, extranjero, calcula el número de cabezas de ganado
del Sol…
Aunque el problema está
redactado de forma algo ambigua, las interpretaciones más verosímiles lo
reconstruyen así:
El dios sol tenía un
rebaño formado por un cierto número de toros blancos, negros, moteados y
amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal forma que:
·
El número de toros blancos es la
mitad y la tercera parte de los negros más los amarillos.
·
El número de toros negros es
igual a la cuarta más la quinta parte de los moteados más los amarillos.
·
El número de toros moteados e
igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos.
·
El número de vacas blancas es
igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas
negras.
·
El número de vacas negras es
igual a la cuarta parte más la quinta aparte de la suma de los toros moteados
más las vacas moteadas.
·
El número de vacas moteadas es
igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más las
vacas amarillas.
·
El número de vacas amarillas es
igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las
vacas blancas.
·
Además, a suma de los toros
blancos y negros es un número cuadrado.
·
Además, la suma de los toros
moteados y amarillos es un número triangular.
Puesto en lenguaje actual,
si llamamos:
Þ W: Número de
toros blancos.
Þ X: Número de
toros negros.
Þ X: Número de
toros moteados.
Þ Y: Número de
toros amarillos.
Þ w: Número de
vacas blancas.
Þ x: Número de
vacas negras.
Þ y: Número de
vacas moteadas.
Þ z: Número de
vacas amarillas.
El enunciado equivale al
sistema de nueve ecuaciones diofánticas:
W = (½+1/3)X
+ Z X = (¼+1/5)Y + Z Y = (1/6+1/7)W + Z
w = (1/3+¼)(X+x) x = (¼+1/5)(Y+y) y = (1/5+1/6)(Z+z)
z = (1/6+1/7)(W+w) W
+ X = m2 Y
+ Z = n(n+1)/2
El sistema se reduce a la
ecuación de Pell[2]:
u2 - 4729494v2
= 1
Su resolución mediante
fracciones continuas lleva a los valores mínimos:
u =
109931986732829734979866232821433543901088049
v =
50549485234315033074477819735540408986340
Y ello conduce a la solución
original del problema, que es aproximadamente:
N = 7,760271·10206544
Es decir, un número con 206.545 cifras. Hasta
recientemente no ha podido ser éste calculado con exactitud gracias al
ordenador, Quien tenga curiosidad por verlo completo puede hacerlo en la
dirección electrónica http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mathematical_games.html,
por otra parte muy recomendable por otros muchos conceptos.
JMAiO,
nov 97
[1]Fermat escribió una notra sobre la imposibilidad de hallar cuatro
números enteros que satisficieran la igualdad xn + yn = zn:
Cubum autem in duos cubos, aut
quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in
infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere
cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non
caperet. (Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un
bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia
superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una
demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado
angosto para contenerla.)
[2] Se llama ecuación de Pell a la diofántica de la forma u2 - kv2 = 1, siendo k no cuadrado perfecto, y (u,v) primos entre sí. Se resuelve mediante la descomposición de Ök en fracciones continuas.