El «problema imposible»

Repasando, antes de llevarlos al armario que será la antesala del olvido, ejemplares antiguos de Investigación y Ciencia (la edición en español de SCIENTIFIC AMERICAN), me tropecé con un problema matemático al que su presentador, Martin Gardner, le aplica el título de «El problema imposible», pues lo considera virtualmente imposible de resolver. La verdad es que, tal como lo enuncia ―aceptando que la traducción es correcta―, el problema es en nuestra opinión ciertamente imposible. Nosotros le aplicaremos unos mínimos afeites que hará que sea factible resolverlo. Pero primero lo enunciaremos tal como lo hace el propio Martin Gardner (el número de la revista corresponde a febrero de 1980):

«Se eligen dos números, no necesariamente distintos, en el conjunto de números enteros positivos mayores que 1 y no mayores que 20. Al matemático S se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático P se le hace saber solamente su producto.

Por teléfono, S le dice a P: “No veo cómo vas a poder averiguar mi suma”. Una hora más tarde, P devuelve la llamada a S y le comunica “Ya sé cuánto vale tu suma”. Más tarde, S llama otra vez a P y le informa “Ahora ya conozco tu producto”.

¿De qué números se trata?»

Aunque no forme parte del enunciado, reproducimos hasta el final el párrafo del planteamiento tal como aparece en la revista:

«Para simplificar el problema he impuesto una cota superior igual a 20 para cada uno de los números, lo que implica que la suma no podrá superar el valor 40, ni ser el producto mayor que 400. Si el lector consigue hallar la única solución, podrá apreciar la facilidad con que puede generalizarse el problema aumentando la cota superior. Sorprendentemente, aún llevando la cota superior hasta el valor 100, la solución permanece invariable. Stover me comunicó que en Israel se ensayaron mediante ordenador todos los números hasta dos millones, sin descubrir una segunda solución. Quizá sea posible demostrar que la solución sigue siendo única aun sin imponer cota superior alguna».

Como ya hemos dicho, opinamos que, tal como está enunciado, el problema no puede resolverse. Digamos en primer lugar que, a falta de una indicación clara al respecto, lo natural es suponer que a los matemáticos S y P se les pasa la información de que los números han sido elegidos del conjunto de enteros desde el 2 hasta el 20, ambos incluidos. Como se hará notar al ofrecer la solución, ese supuesto crea dificultades insuperables. La información que se pasa a los matemáticos ha de ser esta otra: la pareja de números que forma la suma y el producto está formada por números naturales, no necesariamente distintos y ninguno de los cuales es igual a la unidad, y cuya suma es como mucho igual a 40. Nos atrevemos a afirmar que esta aparentemente leve diferencia de planteamiento es la que convierte al problema en resoluble. La solución puede hallarse en la página xxx.

Solución:

Representaremos por (a, b) la pareja de números y por s y p su suma y su producto, respectivamente. Tras la primera llamada de S, P se dio cuenta de que la suma s no podía resultar de una pareja de números primos. Para empezar, esto elimina de un plumazo todas las sumas pares, ya que, dado que la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 2 puede obtenerse como suma de dos números primos) está comprobada hasta números muy altos, está claro que se cumple para los pares hasta el valor 40. Pero, teniendo en cuenta que 2 es primo, se puede afirmar también que la suma s no puede provenir de sumar 2 con un número primo, lo que significa que se pueden descartar los valores de s tales que (s – 2) sea primo. La consecuencia es que los únicos valores posibles de la suma s son los de la lista

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37

Aunque no es imprescindible, conviene descomponer cada uno de los valores anteriores en sus parejas (a, b) posibles, obteniendo el correspondiente producto p. Ahorraremos el esfuerzo al lector. En primer lugar, dejemos claro que el problema no podrá resolverse si se da una de las circunstancias siguientes:

1) Se crea una ambigüedad para P, es decir que P se encuentra con que su producto p puede dar lugar a más de una pareja (a, b) cuya suma s pertenezca a la lista anterior.

2) Se crea una ambigüedad para S, es decir que, una vez que P ha informado a S que conoce su suma, S se da cuenta de que dicha suma s puede provenir de más de una pareja con distinto producto, sin que ello haya representado mayor dificultad para P.

Dicho esto (cosa que explícitamente no aclara Gardner), ya podemos proceder.

A) ¿Puede ser la suma s igual a 11? No, puesto que los productos 18 = 2 × 9, 24 = 3 × 8 y 28 = 4 × 7 definen unívocamente a la pareja para P, creando una ambigüedad para S. Nótese que en los tres casos la suma s es 11.

B) ¿Puede ser la suma s igual a 23? No, porque S no podría decidir entre las parejas (4, 19) y (7, 16) cuyos productos son distintos. Aunque no es necesario, digamos que un producto como 42, que responde a la pareja (2, 21) de suma 23, también puede provenir de (3, 14) de suma 17, lo que ya hubiera creado a P un problema de ambigüedad.

De modo análogo podemos descartar las sumas

C) 27, que puede resultar de las parejas (7, 20), (8, 19), (9, 18), (10, 17), etc., con productos distintos.

D) 29, posible resultado de (10, 19), (11, 18), etc.

E) 35, porque puede provenir de (15, 20), (16, 19), (17, 18), etc.

F) 37, pues podría resultar de (17, 20), (18, 19), etc.

Queda examinar el caso s = 17. Hay siete parejas posibles:

a) (2,15). Su producto 30, sin embargo, responde también a la pareja (5, 6) de suma 11, lo que representaría una ambigüedad para P.

b) (3, 14). El producto 42 también puede provenir de la pareja (2, 21) de suma 23, con el consiguiente bloqueo de P.

c) (5, 12) (dejamos deliberadamente para el final la consideración de la pareja (4, 13) porque corresponde a la solución). En este caso, el producto 60 puede resultar de (3, 20), de suma 23, una de las de la lista de sumas válidas, lo que representaría una ambigüedad para P.

d) (6, 11). El producto 66 puede interpretarse como resultado de (2, 33) de suma 35, y P no hubiera podido asegurar nada.

e) (7, 10). El producto 70 pudiera resultar también de (2, 35) de suma 37, con análogo problema para P.

f) (8, 9), cuyo producto 72 puede venir de (3, 24) de suma 27, otra ambigüedad para P.

g) Finalmente nos queda la pareja (4, 13). En este caso, el producto 52 únicamente puede provenir de la pareja (2, 26) de suma 28, que no figura entre las válidas. Esto permite a P conocer la pareja y por ende la suma s, y el conocimiento de este detalle, a su vez, es lo que hace que S pueda obtener también la solución.

Como añade Gardner, dado que las ambigüedades crecen conforme aumentan los números en juego, la conjetura de que no habrá ninguna otra solución ni aún suprimiendo la cota superior parece razonable.

Lo que a nosotros nos parece demasiado optimista es la observación de Gardner de que «quizá sea posible demostrar que la solución sigue siendo única aun sin imponer cota superior alguna», debido a lo íntimamente asociado que está el razonamiento anterior con la conjetura de Goldbach, que todavía permanece sin probar.

P. Crespo, julio 2008