EL PROBLEMA DE DANI BUYÓ I GINÉ
Ramon Giné, nuestro conocido editor de
SEMAGAMES, me envía este problema, que
el día de los Inocentes (!) de 1999 le propuso su nieto Dani:
Un hotel dispone de 100 habitaciones y 100
camareros.
Los camareros tienen la costumbre siguiente, más
bien simple:
Un primer camarero cierra las puertas de todas las habitaciones.
Un segundo abre las puertas de las habitaciones pares. Un tercero cambia de
posición todas las puertas que son múltiplos de 3. Un cuarto cambia todas las múltiplos
de 4... Así hasta que ha pasado el último camarero.
¿Qué puertas quedarán CERRADAS al final?
SOLUCIÓN
Es obvio que sólo quedarán cerradas aquellas
puertas por las que hayan pasado un número impar de camareros. Es decir, aquéllas
que tengan un número impar de divisores, ya que cada paso de un camarero se
corresponde con un submúltiplo de la puerta que éste abre o cierra.
Dad un número descompuesto en sus factores
primos:
se
demuestra que el número total de sus divisores (incluyendo 1 y el propio N) es:
Este valor sólo puede ser impar si lo son
todos los términos entre paréntesis, o sea si a, b, g,...l son pares. Es decir, si N es un cuadrado perfecto. Por tanto, quedarán
cerradas las puertas 1, 4, 9, 16,...