LOS NÚMEROS RAMANÚJICOS

 

Hay una anécdota muy conocida del gran matemático indio Srivasa Ramanujan. Hallándose internado en un hospital londinense recibió la visita de un amigo suyo, quien, conocedor de las instantáneas relaciones mentales que Ramanujan establecía ente los números, le comentó:

—Pues el taxi en que he venido tenía un número bien intrascendente: 1729.

—De ningún modo —contestó Ramanujan. Es el primer número que es dos veces suma de dos cubos.

 

En efecto, dicho número cumple:

 

1729 = 123 + 13 = 103 + 93

 

Llamaremos números ramanújicos a los que cumplen con la propiedad de ser varias veces suma de dos potencias del mismo exponente (según el número de veces en que pueden expresarse como suma de dos potencias, serán bi-ramanújicos, tri-ramanújicos, etc.). Limitándonos de momento a los cuadrados, los mono-ramanújicos abundan bastante (alrededor de un 10 % del total). De hecho, es conocido el teorema que afirma que cualquier número entero es suma de cuatro cuadrados como máximo.

El número bi-ramanújico más bajo de orden 2 es:

 

50 = 52 + 52 = 72 + 12

 

Pero existen también tri-ramanújicos. El más bajo es 325:

 

325 = 182 + 12 = 172 + 52 = 152 + 102

 

Más espaciadamente van apareciendotetra, pent-, hexa-ramanújicos, etc., con una densidad progresivamente decreciente, que recuerda la de los primos:

 

1105 = 332 + 42 = 322 + 92 = 312 + 122 = 242 + 232

 

8125 = 902 + 52 = 862 + 272 = 852 + 302 = 502 + 752 = 692 + 582

 

5525 = 742 + 72 = 732 + 142 = 712 + 222 = 702 + 252 = 622 + 412 = 552 + 502

 

Obsérvese un hecho curioso: el primer número hexa-ramanújico es incluso inferior al primer penta-ramanújico.

Pasando a los ramanújicos cúbicos, el primero es, efectivamente, 1729. El siguiente:

 

4104 = 233 + 163 = 153 + 93

 

El primer tri-ramanújico cúbico es

 

39312= 343 + 23 = 333 + 153 = 343 + 23

 

Y así sucesivamente. Pueden hacerse otras investigaciones similares más o menos caprichosas, como por ejemplo hallar números que sean varias veces suma de un cuadrado y un cubo. El más notable entre los bajos es 1025:

 

1025 = 322 + 13 = 312 + 43 = 302 + 53 = 102 + 53

 

Sólo desde hace poco tiempo se sabe con certeza que la ecuación xn + yn = zn no es resoluble para n > 2. Pero sí lo es la similar xn + yn + zn = un, que tiene como primera solución para n=3:

 

33 + 43 + 53 = 63

 

Por cierto, que la similitud de esta igualdad con la conocida 32 + 42 = 52 dio pie a todo tipo de investigaciones en esa dirección. La primera, claro, comprobar la análoga con cuartas potencias, que (¡lástima!) ya no se cumple.

 

Propongo una serie de generalizaciones al concepto:

 

·      Estudiar los ramanújicos de orden 3, 4, etc.

·      Estudiar los ramanújicos de orden 2 que a su vez sean cuadrados perfectos.

 

 

                                                                                                            JMAiO