LOS NÚMEROS PEDRISCO

 

            Luis Benito se ocupó del ya venerable "Problema del 3N+1", que, como afirma Miguel A. Lerma, sigue sin ser resuelto. En la sección "Juegos de Ordenador" de los números de marzo y junio de 1984 en INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, Brian Hayes y Fred Gruenberger realizaron sendas magníficas exposiciones del estado (a la sazón) del tema. Un extracto de sus artículos:

 

                Tomemos un número N. Obtengamos N1 de acuerdo con el siguiente algoritmo: si N es par, N1 = N/2. Si N es impar, N1 = 3N+1. Reiteremos el procedimiento una y otra vez.

            ¿Qué ocurrirá? A priori podría decirse:

 

            a) Como hay tantos pares como impares, cabe esperar estadísticamente que a la larga efectuaremos una operación tantas veces como otra, conque en promedio, multiplicaremos por 3/2 aproximadamente. Luego Ni crecerá sin tasa.

            b) Existen infinitas potencias de 2: por ley de probabilidades, tarde o temprano "engancharemos" alguna, y desde este momento se caerá sin piedad hasta 1 (y, desde ahí, nos movemos ya en el corto ciclo 1-4-2-1-4-2-1...).

            c) El vagabundeo ascendente y descendente de los números N producirá ciclos. Alcanzado uno, nos moveremos siempre en él.

 

                ¿Cuál es la realidad? Comprobados con ordenador los 240 primeros números, la realidad muestra que siempre se engancha una potencia de 2 que conduce hasta 1 y a su minibucle.

Por curiosidad, veamos la secuencia en sus primeras 50 iteraciones para los números, 10, 100, 1000, 10000, 100000 y 1000000:

 

10

100

1000

10000

100000

1000000

5

50

500

5000

50000

500000

16

25

250

2500

25000

250000

8

76

125

1250

12500

125000

4

38

376

625

6250

62500

2

19

188

1876

3125

31250

1

58

94

938

9376

15625

4

29

47

469

4688

46876

2

88

142

1408

2344

23438

1

44

71

704

1172

11719

4

22

214

352

586

35158

2

11

107

176

293

17579

1

34

322

88

880

52738

4

17

161

44

440

26369

2

52

484

22

220

79108

1

26

242

11

110

39554

4

13

121

34

55

19777

2

40

364

17

166

59332

1

20

182

52

83

29666

4

10

91

26

250

14833

2

5

274

13

125

44500

1

16

137

40

376

22250

4

8

412

20

188

11125

2

4

206

10

94

33376

1

2

103

5

47

16688

4

1

310

16

142

8344

2

4

155

8

71

4172

1

2

466

4

214

2086

4

1

233

2

107

1043

2

4

700

1

322

3130

1

2

350

4

161

1565

4

1

175

2

484

4696

2

4

526

1

242

2348

1

2

263

4

121

1174

4

1

790

2

364

587

2

4

395

1

182

1762

1

2

1186

4

91

881

4

1

593

2

274

2644

2

4

1780

1

137

1322

1

2

890

4

412

661

4

1

445

2

206

1984

2

4

1336

1

103

992

1

2

668

4

310

496

4

1

334

2

155

248

2

4

167

1

466

124

1

2

502

4

233

62

4

1

251

2

700

31

2

4

754

1

350

94

1

2

377

4

175

47

4

1

1132

2

526

142

2

4

566

1

263

71

 

 

Como vemos, algunas llegan a 1 muy pronto. A otras les cuesta más, pero acaban también en él. Para el valor de partida1000, se acaba en 1 a la 111ª iteración, para 100000, a la 128ª, y para 1000000, a la 152ª. Ninguna pauta.

 

 

También podemos ver en el gráfico las caprichosas subidas y bajadas de N para el valor inicial No = 1000.

¿Por qué? No hay explicación teórica. Es más: las subidas y bajadas son tan bruscas como imprevisibles, y el número de iteraciones necesarias para llegar a 1 varía extraordinariamente, incluso entre números muy próximos. Pero nada se ha concluido sobre el ansiado "caso general", pese a las investigaciones frenéticas de los especialistas en matemática recreativa. El número de horas que se le han dedicado motivó que se dijera que formaba parte de una conjura para entorpecer la investigación matemática en los Estados Unidos.

            Veamos algunas tablas sobre la longitud de la trayectoria y el valor máximo alcanzado en ella. Su irregular aspecto es desconsolador. ¡Se han propuesto incluso fórmulas empíricas que recuerdan las de la hidráulica o Economía! Por ejemplo, la del propio Gruenberger, que estableció que el número promedio de términos necesarios para la convergencia estaba dado, aproximadamente, por 24,64D-101, siendo D el número de dígitos del valor inicial de N.

            ¿Alguien se anima con el problema? ¡Cuidado! Es indigesto.

 

                                                                                                Josep Maria Albaigès

                                                                                                Barcelona, marzo 1987