LOS NÚMEROS EQUI-SUMDIGIT-POTENCIALES

He llamado así, a falta de una palabra más simpática, a aquéllos cuya suma de las potencias n-simas de sus cifras igualan al número. Son ejemplos clásicos los siguientes:

153 = 1³ + 5³ + 3³

370 = 3³ + 7³ + 0³

371 = 3³ + 7³ + 1³

407 = 4³ + 0³ + 7³

Es curioso que el primero, 153, figura en abundantes manuales de numerología por ser el número de peces en la pesca milagrosa tras la Resurrección (Jn, 21-11).

En todo caso, el ordenador descubre más números con la misma propiedad para exponentes superiores. No existe ninguno para el exponente 2, pero, limitándonos a la cota superior 10000 y al exponente 8, pronto se hallan unos cuantos más:

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴

8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴

9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵

4151 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 1⁵

54748 = 5⁵ + 4⁵ + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵

92727 = 9⁵ + 2⁵ + 7⁵ + 2⁵ + 7⁵

93084 = 9⁵ + 3⁵ + 0⁵ + 8⁵ + 4⁵

Observemos que en ellos se repite un doblete análogo al 370/371, lo que parece sugerir recurrentes conexiones.

La cuestión es: ¿Tiene final esta serie? ¿Existe una cota superior a partir de la cual nunca un número puede ser igual a la suma de las potencias n-simas de sus cifras, o la sucesión prosigue indefinidamente?

Sí es fácil ver que para cada exponente existe un límite superior. Así, para n=3, ya no habrá ningún posible número equi-sumdigit-potencial a partir de 2916 (¿por qué?), pero no se ve ningún límite superior para exponentes suficientemente elevados.

¿Alguien provisto de un super-ordenador puede investigar más allá?

JMAiO, abr 97