LA MAGIA DE MOESSNER

Este trimestre John H. Conway ha dado un ciclo de conferencias en esta universidad (Northwestern). Todas las conferencias han sido de gran interés, pero la última fue especialmente interesante y repleta de resultados matemáticos intrigantes. Te cuento uno de ellos, el cual fue al parecer descubierto por Alfred Moessner en los años 50. Conway lo llama "la magia de Moessner".

Considera la sucesión de los números naturales (n):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ....

Elimina los números pares (2n):

1 _ 3 _ 5 _ 7 _ 9 _ 11 _ 13 _ 15 _ ....

Suma acumulativamente los números restantes:

1 _ 4 _ 9 _ 16 _ 25 _ 36 _ 49 _ 64 ...

Sin demasiada sorpresa (éste es un resultado bien conocido) obtenemos los cuadrados de los números naturales (n²).

Supongamos sin embargo que en vez de los números pares eliminamos los múltiplos de 3:

1 2 _ 4 5 _ 7 8 _ 10 11 _ 13 14 ...

Sumamos acumulativamente:

1 3 _ 7 12 _ 19 27 _ 37 48 _ 61 75 ...

De los números obtenidos eliminamos el último de cada intervalo:

1 _ _ 7 _ _ 19 _ _ 37 _ _ 61 _ ...

Volvemos a sumar acumulativamente:

1 _ _ 8 _ _ 27 _ _ 64 _ _ 125 ...

y obtenemos los cubos de los números naturales (n³).

Por increíble que parezca, el procedimiento funciona para cualquier sucesión de múltiplos de un número dado. Por ejemplo, para múltiplos de 4 el proceso daría las siguientes secuencias:

1 2 3 _ 5 6 7 _ 9 10 11 _ 13 14 15 _ ...

1 3 6 _ 11 17 24 _ 33 43 54 _ 67 81 69 _ ...

1 3 _ _ 11 17 _ _ 33 43 _ _ 67 81 _ _ ...

1 4 _ _ 15 32 _ _ 65 108 _ _ 175 256 _ _ ...

1 _ _ _ 15 _ _ _ 65 _ _ _ 175 _ _ _ ...

1 _ _ _ 16 _ _ _ 81 _ _ _ 256 _ _ _ ...

Como se ve, los números que quedan al final son las cuartas potencias de 1, 2, 3, 4,...

Este procedimiento, por tanto, nos permite pasar de una sucesión de la forma cn (c constante) a n^c. Pero aun hay más. El procedimiento en general transforma sumas en productos. Por ejemplo, si empezamos eliminando la sucesión 1, 3, 6, 10,..., (1+2+3+...+n), ... y aplicamos el procedimiento:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

_ 2 _ 4 5 _ 7 8 9 _ 11 12 13 14 _ ...

_ 2 _ 6 11 _ 18 26 35 _ 46 58 71 85 _ ...

_ _ _ 6 _ _ 18 26 _ _ 46 58 71 _ _ ...

_ _ _ 6 _ _ 24 50 _ _ 96 154 225 _ _ ...

_ _ _ _ _ _ 24 _ _ _ 96 154 _ _ _ ...

_ _ _ _ _ _ 24 _ _ _ 120 274 _ _ _ ...

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 120 _ _ _ _ ...

los números que van quedando al final en cada intervalo son 1, 2, 6, 120,..., es decir, n! = 1×2×3×...×n.

He probado otras combinaciones y también funciona, aunque a veces hay que acertar a escribir correctamente la sucesión original como suma de términos que dependen de n. Por ejemplo el procedimiento transforma 2n+1 = n+(n+1) en n*(n+1), el sumatorio del sumatorio de n en el
productorio de n!, etc.

Conway confesó que no sabía muy bien por qué la "magia de Moessner" funciona. En realidad ni siquiera está muy claro qué es lo que hace exactamente, puesto que "transformar sumas en productos" es una descripción un tanto imprecisa. Pero sea lo que sea lo que hace, la magia de Moessner es realmente sorprendente.

Miguel A. Lerma

En un número ya antiguo de Carrollia me referí a los números oblongos, heteromekeis, etc., y a las sumas de potencias que resultaban de sumas de números, tan sorprendentes como la magia de Moessner (y sospecho que relacionados). Todo esto está en un libro increíble, "Aritmética teórica de los pitagóricos", de Thomas Taylor (The Theoretic Arithmetic of the Pithagoreans), que en España fue publicado en una de esas colecciones "esotéricas" cuando nada tiene de esotérico.

Es un libro imprescindible para el amante de las matemáticas recreativas, no se sabe si por sus inesperados resultados o por el hecho de que éstos fueran conocidos, sin saber por qué, hace 2000 años.

(Nota de JMAiO)