ALGUNOS HALLAZGOS DE LOS PITAGÓRICOS

Aparte del teorema de Pitágoras, ¿qué más sabemos de la escuela del maestro de Crotona? En sus investigaciones sobre los números enteros, sus miembros llegaron a resultados sorprendentes.

Algunos han sido luego reconstruidos por el análisis, otros siguen manteniendo su dificultad incluso con esta poderosa herramienta. Veamos algunos ejemplos, que centraremos de momento en las sucesiones numéricas.

Sucesión de los impares

Empecemos escribiendo la tabla de los impares:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29…

Es bien conocido que sus progresivas sumas engendran los cuadrados:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

............................

Pero no lo es tanto que las sumas parciales, tomadas en números de sumandos crecientes, engendran los cubos:

1 = 1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 + 19 = 64

............................

Y también las cuartas potencias, partiendo siempre del inicio:

1 = 1

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

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Sucesión de los pares

Vamos a explorar ahora qué ocurre con la sucesión de los pares. Dispongámoslos como antes los impares:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Las mismas sumas que antes engendraban los cuadrados dan ahora esta sucesión:

2 = 2

2 + 4 = 6

2 + 4 + 6 = 12

O sea, abreviando:

2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210

Estos números eran llamados heteromekeis por los pitagóricos, término que significa "más largos por una parte", o "ligeramente oblongos". Fácil es ver que responden a la fórmula H_n = n(n+1). Un heteromekei es el doble de un triangular.

Con ayuda de estos números podemos descubrir más relaciones sorprendentes. Por ejemplo, dispongamos otra vez los impares y los heteromekeis, desplazando éstos dos lugares:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

6 12 20 30 42 56 72 90 110

Y ahora dispongamos el producto miembro a miembro, dividido por 6:

5 14 30 55 91 120 204

¡Éstas son precisamente las sumas de los cuadrados!

Todavía más: los cuadrados de los heteromekeis, divididos por 4:

9 36 100 225 441

¡Son precisamente las sumas de los cubos!

Observemos que, por la forma en que han sido definidos, podríamos decir que un heteromekei es un "cuasi cuadrado". Aplicando a la serie de los pares las mismas manipulaciones con que definíamos los cubos y las cuartas potencias, definiríamos los cuasi-cubos:

10 30 68 130 222 350 520 738 1010

Y las cuasi-cuartas potencias:

20 90 272 650 1332 2450 4160 6642 10100

Todos ellos difieren de sus respectivos cuadrados y cubos verdaderos respectivos precisamente en el número, pero en las cuartas potencias la diferencia es su cuadrado.

Todas estas relaciones, como decimos, pueden ser deducidas mediante métodos algebraicos, pero a veces resulta sorprendentemente difícil. Pensar en la forma en que llegaron a ellas los pitagóricos nos dar una idea de la profundidad con que conocían los nudos del cañamazo matemático.

JMAiO, sep 93