LA FUNCIÓN REFLEX

LA FUNCIÓN REFLEX

Se define la función reflex, y = ref_k(x), de la siguiente forma: Dado un número x, lo expresaremos en una base dada k, construiremos seguidamente el número “reflejado” en dicha base (es decir, el mismo número escrito al revés) y desharemos finalmente el cambio de base.

Por ejemplo, vamos a hallar ref₆(47).

· Expresándolo en base 6: 45 = 113₍₆₎

· Reflejado: 311₍₆)

· Deshaciendo el cambio de base: 311₍₆₎ = 115

Estudiemos brevemente las propiedades de la función. Se trata de una aplicación inyectiva de R en R, es decir, a todo x corresponde un y. Pero no es exhaustiva, ya que habrá valores de y no procedentes de ningún x: concretamente, todos aquellos que sean múltiplos de k, pues corresponden, en base k, a un número terminado en cero, que no es el reflejado de ninguno.[1]

Examinemos la estructura de la función valiéndonos de un ejemplo sencillo. Veamos los transformados desde 1 hasta 64 en base 4.

x	ref₄(x)	x	ref₄(x)	x	ref₄(x)	x	ref₄(x)
1	1	17	17	33	18	49	19
2	2	18	33	34	34	50	35
3	3	19	49	35	50	51	51
4	1	20	5	36	6	52	7
5	5	21	21	37	22	53	23
6	9	22	37	38	38	54	39
7	13	23	53	39	54	55	55
8	2	24	9	40	10	56	11
9	6	25	25	41	26	57	27
10	10	26	41	42	42	58	43
11	14	27	57	43	58	59	59
12	3	28	13	44	14	60	15
13	7	29	29	45	30	61	31
14	11	30	45	46	46	62	47
15	15	31	61	47	62	63	63
16	1	32	2	48	3	64	1

Transcurrido el primer intervalo 1-3, en que como es natural x = ref₄(x), a partir de x = 4 los valores ref(x) son los de la escala natural tomados de 4 en 4, a la manera de esos juegos o sorteos en que se cuenta según intervalos. Agotado el primer intervalo, el segundo se sucede decalado en una unidad y con período cuádruple, y así sucesivamente.

La gráfica de la función aclara el modo de variación de ésta.

Cuadro de texto:

APLICACIONES GENEALÓGICAS DE ref_k(x)

La función reflex tiene interesantes aplicaciones en genealogía. Las intercalaciones inducidas por la función resultan muy útiles al hallar el orden de los apellidos en función de los de los ascendientes.

Por ejemplo, es sabido que la numeración de los antepasados de un individuo según el sistema Sousa-Stradonitz se realiza así: se asigna 1 al individuo, 2 al padre, 3 a la madre, 4 al abuelo paterno, etc., según el siguiente esquema (el signo = representa matrimonio, el ï la filiación).

Generación IV 8 = 9 10 = 11 12 = 13 14 = 15

ï ï ï ï

Generación III 4 = 5 6 = 7

ï ï

Generación II 2 = 3

Generación I 1

El sistema es realmente cómodo, sencillo y además contiene unas correlaciones matemáticas que lo hacen muy práctico. Es fácil, comprobar que:

· Números pares corresponden a varones, los impares a mujeres (a excepción, eventualmente, del propio individuo).

· La generación n contiene 2^n-1 personas. El total de generaciones hasta la n en contiene 2ⁿ-1.

· El padre de un sujeto de número n tiene el 2n, la madre el 2n+1.

· Un matrimonio tiene siempre números correlativos, 2n i 2n+1. Su hijo tiene el número n.

Pasemos ahora a hacer unas consideraciones sobre los apellidos de una persona. Aunque oficialmente éstos sean solamente dos, de hecho todos llevamos tantos apellidos de nuestros antepasados como conozcamos, dispuestos según la siguiente regla: el primero es el del padre, el segundo el de la madre, el tercero el de la abuela paterna, el cuarto el de la materna, y así sucesivamente, siempre de acuerdo con las siguientes reglas:

· Dentro de una misma generación, el apellido masculino precede al femenino, y los antepasados de antepasados masculinos preceden a los antepasados de antepasados femeninos.

· Los apellidos generacionalmente más próximos preceden a los más alejados.

Que las reglas sean sencillas no quiere decir que lo sean los resultados de aplicarlas. Veamos algunos ejemplos:

· Como es bien sabido, de un matrimonio Álvarez-Bergadà salen hijos con apellidos Álvarez Bergadà. Si un varón hijo de este matrimonio se casa con una mujer de apellidos Cobo-Durán, los hijos resultantes tendrán de 1^o i 2^o apellidos Álvarez-Cobo, i de 3^o i 4^o Bergadà-Durán. Simplificadamente: ACBD.

· Si entonces uno de estos hijos varón se casa con una EGFH (padres respectivos EF i GH), el resultado será un AECGBFDH.

La cosa, como vemos, se complica bastante deprisa. ¿Cómo saber, sin temor a equivocarnos, dónde hay que ubicar cada apellido de los diversos antepasados? No hay que decir que lo ideal sería deducir el número del apellido N a partir del número de Sousa-Stradonitz, que llamaremos SS. Armand de Fluvià, máximo experto genealogista en nuestro país, dice en su libro A la recerca dels avantpassats: “Quizás haya una relación matemática entre unos y otros [SS y N], pero por ahora es desconocida”.

Tal relación matemática es inmediata con la ayuda de ella función reflex, y es la siguiente:

N = ref₂(SS’)

Siendo SS’ el número SS del antepasado portador del apellido excluyendo de él el 1 inicial. De otra forma, SS’ = SS - 2^[log₂ SS].

La demostración es sencilla. Observemos que el SS de un personaje lo obtenemos partiendo del sujeto 1 avanzando por las ramas del árbol genealógico. Si representamos nuestra ruta con un 1 cuando subimos hacia la izquierda y con un 0 cuando lo hacemos hacia la derecha, observaremos que una ruta como la 1010, que conduce al antepasado 10, equivale al mismo número en base binaria, o sea, en decimal, 7.

Por otra parte, el apellido correspondiente a un determinado SS irá a parar al sujeto mediante unos zigzags también hacia la derecha o la izquierda, que serán justamente los inversos de los que hemos seguido antes a partir del primer número. Del citado personaje SS = 10 pasaremos al sujeto mediante la ruta 010, que es justamente la misma de antes a la inversa, suprimido el 1 inicial.

Los cálculos anteriores son fácilmente programables por ordenador. Veamos, para completar el tema, las correspondientes correlaciones entre SS y N para valores hasta 255.

RELACIÓN ENTRE SS I N
SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N
		32	1	64	1	96	2	128	1	160	3	192	2	224	4
1	1	33	17	65	33	97	34	129	65	161	67	193	66	225	68
2	1	34	9	66	17	98	18	130	33	162	35	194	34	226	36
3	2	35	25	67	49	99	50	131	97	163	99	195	98	227	100
4	1	36	5	68	9	100	10	132	17	164	19	196	18	228	20
5	3	37	21	69	41	101	42	133	81	165	83	197	82	229	84
6	2	38	13	70	25	102	26	134	49	166	51	198	50	230	52
7	4	39	29	71	57	103	58	135	113	167	115	199	114	231	116
8	1	40	3	72	5	104	6	136	9	168	11	200	10	232	12
9	5	41	19	73	37	105	38	137	73	169	75	201	74	233	76
10	3	42	11	74	21	106	22	138	41	170	43	202	42	234	44
11	7	43	27	75	53	107	54	139	105	171	107	203	106	235	108
12	2	44	7	76	13	108	14	140	25	172	27	204	26	236	28
13	6	45	23	77	45	109	46	141	89	173	91	205	90	237	92
14	4	46	15	78	29	110	30	142	57	174	59	206	58	238	60
15	8	47	31	79	61	111	62	143	121	175	123	207	122	239	124
16	1	48	2	80	3	112	4	144	5	176	7	208	6	240	8
17	9	49	18	81	35	113	36	145	69	177	71	209	70	241	72
18	5	50	10	82	19	114	20	146	37	178	39	210	38	242	40
19	13	51	26	83	51	115	52	147	101	179	103	211	102	243	104
20	3	52	6	84	11	116	12	148	21	180	23	212	22	244	24
21	11	53	22	85	43	117	44	149	85	181	87	213	86	245	88
22	7	54	14	86	27	118	28	150	53	182	55	214	54	246	56
23	15	55	30	87	59	119	60	151	117	183	119	215	118	247	120
24	2	56	4	88	7	120	8	152	13	184	15	216	14	248	16
25	10	57	20	89	39	121	40	153	77	185	79	217	78	249	80
26	6	58	12	90	23	122	24	154	45	186	47	218	46	250	48
27	14	59	28	91	55	123	56	155	109	187	111	219	110	251	112
28	4	60	8	92	15	124	16	156	29	188	31	220	30	252	32
29	12	61	24	93	47	125	48	157	93	189	95	221	94	253	96
30	8	62	16	94	31	126	32	158	61	190	63	222	62	254	64
31	16	63	32	95	63	127	64	159	125	191	127	223	126	255	128

Josep M. Albaigès

Salou, ago 99

[1] Esto podría resolverse expresando en base k un número siempre con c cifras, por ejemplo, 0032. Pero la función quedaría limitada al conjunto numérico k^c.