ESTUDIO
DE LOS DERIVADOS PRODUCTO-DIGITALES
Llamaremos "producto digital" de un
número (abreviadamente, PD) al producto de sus cifras significativas. Por ejemplo:
PD(25) = 2*5 = 10
PD(489) = 4*8*9 = 288
Sumando el número a su producto digital
obtendremos el "derivado producto-digital" (DPD):
DPD(25) = 25 + 10 = 35
DPD(489)= 489 + 288 = 777
Podemos reiterar la operación, obteniendo así
los DPD de segundo, tercer... orden, pero es presumible que tarde o temprano
llegaremos a un número con algún 0 entre sus cifras constitutivas. A partir de
ahí, DPD(N) = 0, y los sucesivos DPD permanecen constantes.
Llamaremos "orden producto-digital"
(OPD) de un número al número de reiteraciones necesarias (excluyendo la primera)
para alcanzar un producto digital nulo. Así:
OPD(10) = 0
OPD(25) = 2
Podríamos preguntarnos si la investigación
del OPD de un número o de sus sucesivos DPD admite algún análisis a priori. La
realidad es que las secuencias correspondientes son sumamente irregulares, como
puede verse por esta muestra:
N OPD
(N)
250 0
251 4
252 2
253 3
254 25
255 1
256 3
257 7
258 2
259 5
260 0
La aplicación de métodos de estadística
matemática proporciona algún resultado, aunque no muy importante. Dado un
número de c cifras, la probabilidad de que ninguna de ellas sea cero es:
p = 0,9c-1
Por tanto, la probabilidad de que el OPD sea
nulo, esto es, de que haya algún cero en N, vale:
p0 = 1 - 0,9c-1
Al hallar el primer DPD, la probabilidad
varía, puesto que al menos una de las cifras cambia. Sin embargo, si suponemos
constante dicha probabilidad en primera aproximación, fácilmente obtendremos
por un razonamiento análogo la probabilidad de que el OPD(N) = k, equivalente a
que en el k-ésimo DPD exista algún cero:
p1 = (1 – 0,9c-1)*0,9c-1
p2 = (1 – 0,9c-1)*0,92(c-1)
……………………….
pk = (1 – 0,9c-1)*0,9k(c-1)
Es fácil obtener, mediante el ordenador, los
valores exactos de p. En la tabla adjunta se ve que difieren significativamenle
de los previstos teóricamente.
Es claro que la gráfica de los logaritmos de
las frecuencias relativas teóricas será una recta, pero lo curioso es que la
de las frecuencias relativas reales también lo es, con un coeficiente de
regresión en torno al valor -0,45. Las gráficas teórica y real difieren
bastante.
Por ejemplo, para los números comprendidos
entre 1.000.000 y 9.999.999
(c=7), la probabilidad del orden k vale:
p7 = (1 - 0,96)*0,96k
= 0,468559*0,531441k
Que equivale, en gráfica logarítmica, a:
log p7 = -0,758093 +
k*log(0,531441) = -0,758093 - 0,632163*k
Las frecuencias reales obtenidas se agrupan
en torno a una recta sustancialmente distinta, de ecuación:
log fr7 = -1,24592 -0,44664*k
En la gráfica puede verse cómo las
frecuencias reales son al principio inferiores a las teóricas, pero las sobrepasan
muy pronto.
Podría conseguirse quizás una mejor
aproximación teniendo en cuenta que el valor de DPD(k) va creciendo
ligeramente con k, de manera que similarmente evoluciona la probabilidad de
algún cero, pero las dificultades para ello son obvias. Queda abierto el tema a
la investigación.
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Cifras:7 |
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|
|
Intervalo: |
1000000-9999999 |
1000000-9999999 |
1000000-9999999 |
1000000-9999999 |
|
Frecs |
Frec teórica |
Frec real |
log Ft |
log Fr |
|
p: |
0,531441 |
|
|
|
|
q: |
0,468559 |
|
|
|
|
k(1) |
|
|
|
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|
0 |
4217031 |
4217031 |
-0,375 |
-0,375 |
|
1 |
2241103 |
1880970 |
-0,650 |
-0,726 |
|
2 |
1191014 |
1101625 |
-0,924 |
-0,958 |
|
3 |
632954 |
672281 |
-1,199 |
-1,172 |
|
4 |
336378 |
415858 |
-1,473 |
-1,381 |
|
5 |
178765 |
259619 |
-1,748 |
-1,586 |
|
6 |
95003 |
163709 |
-2,022 |
-1,786 |
|
7 |
50488 |
103964 |
-2,297 |
-1,983 |
|
8 |
26832 |
66284 |
-2,571 |
-2,179 |
|
9 |
14259 |
42601 |
-2,846 |
-2,371 |
|
10 |
7578 |
27094 |
-3,120 |
-2,567 |
|
11 |
4027 |
17422 |
-3,395 |
-2,759 |
|
12 |
2140 |
11116 |
-3,670 |
-2,954 |
|
13 |
1137 |
7363 |
-3,944 |
-3,133 |
|
14 |
604 |
4685 |
-4,219 |
-3,329 |
|
15 |
321 |
2907 |
-4,493 |
-3,537 |
|
16 |
171 |
1886 |
-4,768 |
-3,724 |
|
17 |
91 |
1252 |
-5,042 |
-3,902 |
|
18 |
48 |
796 |
-5,317 |
-4,099 |
|
19 |
26 |
545 |
-5,591 |
-4,264 |
|
20 |
14 |
336 |
-5,866 |
-4,474 |
|
21 |
7 |
232 |
-6,140 |
-4,635 |
|
22 |
4 |
160 |
-6,415 |
-4,796 |
|
23 |
2 |
98 |
-6,690 |
-5,009 |
|
24 |
1 |
59 |
-6,964 |
-5,229 |
|
25 |
1 |
43 |
-7,239 |
-5,367 |
|
26 |
0 |
28 |
-7,513 |
-5,553 |
|
27 |
0 |
16 |
-7,788 |
-5,796 |
|
28 |
0 |
6 |
-8,062 |
-6,222 |
|
29 |
0 |
5 |
-8,337 |
-6,301 |
|
30 |
0 |
3 |
-8,611 |
-6,523 |
|
31 |
0 |
4 |
-8,886 |
-6,398 |
|
32 |
0 |
2 |
-9,160 |
-6,699 |
|
Suma |
|
9000000 |
|
|
|
Nmax |
|
3515987 |
|
|
|
|
|
5112691 |
|
|
|
Rmax |
|
32 |
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Otro efecto curioso se observa al investigar
la evolución de los valores medios de los PD. Considerando el intervalo entre
2.000.000 y 3.000.000, y tomando la media móvil del PD extendida a los 10.000
números siguientes a N, la gráfica correspondiente es ligeramente creciente,
como era de esperar por la cuantía creciente de los dígitos constituyentes de
N, pero formando unos "dientes de sierra" en las zonas de muchos
ceros, los cambios de centena de millar. Una media móvil extendida a una mayor
longitud (100.000 números, por ejemplo) sería simplemente creciente, sin
dientes de sierra.
Sin embargo, medias móviles para intervalos
inferiores mostrarían cómo cada diente de sierra se resuelve en otros más
pequeños, y así sucesivamente, produciéndose así una gráfica aparentemente
caótica, aunque con unas regularidades ciertamente existentes. Esto recuerda, a
otra escala, las repeticiones en la estructura interna de los conjuntos
mandelbrotianos cuando les son aplicados "zooms" cada vez más
penetrantes.
JMAiO, nov 90