Esta enumeración consiste en presentar una sucesión completa y ordenada (generalmente en forma creciente) de todos los números naturales donde, cada uno de ellos, cumpla con la condición de ser primo, esto es: que tenga dos, y sólo dos, divisores (la unidad y él mismo).
Suele estar precedida por la pregunta: ¿Cuántos números primos... hay?, donde, reemplazando los puntos suspensivos por alguna condición restrictiva, se obtiene una respuesta única que, luego, puede ser seguida de la susodicha enumeración; por ejemplo, ¿Cuántos números primos menores que 10 (o de una sola cifra) hay?, y la respuesta es “cuatro”, seguida de la enumeración: 2, 3, 5 y 7.
O bien (otro ejemplo): ¿Cuántos números primos menores que 100 (o que constan, solamente, de una o dos cifras) hay? y la respuesta es “veinticinco”, seguida de la enumeración: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Si se suprimen los puntos suspensivos, la pregunta ¿Cuántos números primos hay?, tiene como respuesta: “innumerables, incontables”, o bien: “infinitos” (empleando el singular y peculiar concepto del infinito matemático, que goza de una representación: ∞, cuasiguarismo, por la cual puede figurar como resultado de una ecuación o participar en representaciones junto a cantidades finitas. Esa representación –como es sabido– proviene de una modificación de la inicial del latín aeternum, es decir, eterno, siendo dable el aclarar que no es sinónimo de infinito: lo infinito es una imperfección de las cosas creadas –como enseña Santo Tomás de Aquino– y también lo es en los números, por ser entes de razón).
Sin embargo, el asunto al que se refieren estas líneas es otro, distinto a la digresión del párrafo anterior que, por eso, se mantiene entre paréntesis:
Se trata de que, en algunos lugares de obras matemáticas, se incluye la unidad entre los números primos.
A continuación, se citan algunos ejemplos donde sucede esto: en un lexicón (o diccionario) de Matemáticas1 en el art. “criba” se describe el método inventado por Eratóstenes para determinar los números primos en una cantidad que se desee: se escriben los números naturales y, después de suprimir, tachar o “cribar” todos los números pares (excepto 2), se continúa tachándolos, de tres en tres, a partir de 3 × 3 = 9; luego, se sigue procediendo así, pero de cinco en cinco, a partir de 5 × 5 = 25, etc. Cuando se termine de cribar toda la cantidad de números naturales elegida, quedan sin tachar todos los números primos... aparentemente (pues no se cribó la unidad, colocada cuando se escribió toda la sucesión de números naturales); así aparece en la obra citada, con lo cual, los números primos serían veintiséis, dentro de la primera centena.
En otro diccionario (Wörterbuch), anterior en un siglo al del precedente ejemplo, en el Art. “Primzahlen” (Números primos) también se enumeran veintiséis primos dentro de la primera centena2
El error consiste en tomar como definición de número primo: “son aquéllos que quedan sin cribar cuando se aplica el método de Eratóstenes” (que, dicho de paso, es el que se continúa aplicando en los días actuales –no hay otro conocido, para determinar primos– aunque se opera con la enorme velocidad que permiten los ordenadores).
Para obviar dicho error es menester emplear la definición formal de número primo (que se cita en el primer párrafo de estas líneas): “Es todo número natural que tiene dos, y sólo dos, divisores”.
Un número natural, en general, es divisible exactamente por sí mismo, por la unidad y por otros/s divisor/es; solamente los primos se caracterizan por tener el mínimo de divisores: la unidad y él mismo, esto es, el mínimo posible de divisores: por eso, la unidad no es primo: por tener un solo divisor, él mismo.
A ello se puede añadir el lema de que un primo nunca es divisor de otro primo... y la unidad es divisor de todos los primos.
En el fondo de este asunto subyace una falsa dicotomía: la de enfrentar primo (el que tiene sólo dos divisores) con compuesto (el que tiene tres o más divisores), cuando, en realidad, se trata de la tricotomía: unidad-primo-compuesto, es decir, la unidad no es primo, ni compuesto (y estimarlo como primo es tan absurdo como estimarlo compuesto).
Añadiendo otros ejemplos de obras, en torno a este asunto, se desea comentar que en una enciclopedia matemática3, entre sus primeras páginas se afirma taxativamente que la unidad no es un primo y setecientas páginas más adelante publica una tabla de logaritmos naturales de números primos, enumerando todos los menores de 1000, ...y encabeza dicha enumeración con la unidad, aunque la guarda entre paréntesis.
En otra obra, ésta, de Matemáticas recreativas4, muy valiosa por su amenidad y una relevante didáctica en sus explicaciones, se incluye (con permiso del autor) una enumeración de primos que alcanza hasta el 55079... pero la inicia con la unidad (y, esta vez, sin encerrarla entre paréntesis).
Finalmente, y para completar a media decena las obras citadas, se toma una de Martin Gardner (la sexta de sus antologías integradas por artículos que le fueron publicados en una importante revista mensual de difusión –a buen nivel– de las ciencias, en general).
Gardner es reconocido como el más importante especialista contemporáneo en los temas de Matemáticas recreativas, problemas de ingenio, curiosidades y juegos en torno a estas ciencias.
En el capítulo dedicado a números primos, de esta obra, luego de comentar el método de Eratóstenes y la original idea de otro autor contemporáneo, que permite una manera eficiente de realizarla, quiere dar un ejemplo que la ilustre, tomando los primos menores que 100... y expresa lo siguiente:
“En la criba han caído todos excepto 26 números (...). Éstos son los primeros 26 primos. Los matemáticos prefieren hablar de 25 primos, porque varios teoremas importantes son más sencillos de enunciar si no se considera el 1 como primo”, y pasa a dar como ejemplo el Teorema Fundamental de la Aritmética (que todo número compuesto, se puede expresar como un producto único –y característico de él– de todos sus divisores primos).
Al respecto, no se puede expresar que hay disenso con la opinión de Gardner: en Matemáticas no cabe opinión alguna (salvo en el aspecto filosófico o, quizás también en lo histórico).
En un teorema, si se considera la unidad como primo, simplemente no es demostrable y si se trata de un problema (con dicha consideración), no se lo podrá resolver. Él mismo lo admite, al terminar el párrafo:
“No podríamos decir esto si considerásemos el 1 como primo. Habría un número infinito de conjuntos diferentes de factores primos,...” siempre con referencia al teorema fundamental.
En cuanto a los problemas, cinco páginas más adelante presenta la solución a un cuadrado mágico formado por números primos [los tales cuadrados son problemas distractivos, donde se plantea colocar en sus casillas números naturales consecutivos de modo tal que la suma de todas las filas (horizontales) y las columnas (verticales), así como las dos diagonales mayores, permitan obtener siempre el mismo resultado (constante); dichos cuadrados son de orden tercero, si el cuadrado tiene nueve casillas, de orden cuarto, si son dieciséis las casillas, etc.]. En este caso, transcribe uno de tercer orden, los primos no son consecutivos... e incluye la unidad entre los primos:
67 1 43
13 37 61
31 73 7 siendo la suma constante 111.
En la siguiente página incluye uno (de orden duodécimo y constante 4514), pero, también malogrado por incluir la unidad en él, pese a que emplea primos consecutivos (prescindiendo del 2, por su paridad)5.
Si se optara por transformar el cuadrado de tercer orden y constante 111 en uno “ortodoxo”, formado exclusivamente por primos, se tendría que sumar en cada casilla una cantidad par (constante) hasta obtener lo deseado: sin embargo, dicho par no podrá terminar en 2, pues 13, 43 y 73 pasarían a terminar en 5 y, por lo tanto, no serían primos; tampoco podrá terminar en 4, pues 31 y 61 también terminarían en 5 y tampoco podrá terminar en 8, pues 7, 37 y 67 pasarían a terminar en 5. Quedando la posibilidad de que los sumandos a añadir en cada casilla terminen en 0 ó en 6, se ha intentado, empleando la enumeración de Lehmer (antes citada) que alcanza hasta el primo 55079, pero con resultado infructuoso.
Se deja a algún eventual lector de estas líneas el seguir intentándolo (o buscar una demostración de que es irresoluble), mientras que se aventura una conjetura: que no tiene solución a causa de haber incluído la unidad como si fuera primo.
La Plata, a 16 de mayo / A. D. 2006
NOTAS:
1 Francisco Vera, “Matemática”,
Lexicón Kapelusz, Bs. As., 2da. 1967. El art. “criba”, en pág. 124.
2 Ludwig Hoffmann,
“Mathematisches Wörterbuch” (Diccionario de Matemáticas), IV. Band (4to. Tomo) K-P,
Verlag (Editorial) von Wiegandt und Hempel, Berlín, 1864, Art. “Primzahlen”
(Números primos), Seite (página) 308 de este 4to. Tomo.
3 W. Gellert et alia, “The
VNR Concise Encyclopedia of Mathematics” Van Nostrand Reinhold Co., New
York, 1977. En pág. 24 afirma: “The number 1
itself is not counted among the prime numbers so that the secuence begins with
2.” Y en pág 730 presenta la tabla citada,
donde la enumeración empieza con (1).
4 Albert
H. Beiler, “Recreations in the Theory of Numbers”,
5 Martin
Gardner. “Comunicación... y otros pasatiempos matemáticos”. Ediciones
Cátedra, Madrid, 1986. Es en la pág. 127 donde se encuentra parte del párrafo
que se transcribe en estas líneas y en la pág. 137 se halla el cuadrado de
tercer orden (en la siguiente, 138, se puede ver el cuadrado de orden
duodécimo, cuyo autor lo confeccionó en 1913. Según Gardner, dicho autor, de
nombre J. N. Muncey, demostró que el mínimo posible, con primos, es ese... pero
resulta inválido por incluir la unidad).