Ejercicio complicado

Son muchos los que conocen el cuadro Ejercicio complicado, (año 1895) de Bogdánov - Belski, pero muy pocos se percatan del contenido del “ejercicio complicado" al contemplar dicho cuadro.

Trátese de resolver rápida y mentalmente el siguiente ejercicio:

El ejercicio, efectivamente, no es fácil. Sin embargo, los alumnos del cuadro lo resuelven con facilidad. En la figura del maestro, el pintor reprodujo a S. Rachinski, profesor de Ciencias Naturales, que abandonó la cátedra de la universidad para convertirse en un sencillo maestro rural. El inteligente pedagogo cultivaba en su escuela el cálculo mental, basado en el hábil empleo de las propiedades de los números. Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosa propiedad:

10 ²+ 11 ²+ 12 ²= 13 ²+ 14 ²

Comoquiera que

100 + 121 + 144 = 365,

es fácil hallar mentalmente que la expresión reproducida en el cuadro es igual a 2. El álgebra nos ofrece los medios necesarios para plantear con más amplitud la cuestión de esta interesante particularidad de las series de números. ¿Es acaso ésta la única serie de cinco números consecutivos, en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos?

Solución

Si expresamos el primero de los números buscados con x , tendremos la siguiente ecuación:

x ²+(x + 1) ²+ (x + 2) ²= (x + 3) ²+ (x+ 4 ) ²

Sin embargo, es más cómodo expresar con x, no el primer número de los buscados, sino el segundo. Entonces la ecuación tendrá un aspecto más sencillo:

(x – 1 ) ²+ x ²+ (x + 1) ²= (x + 2) ²+ (x+ 3 ) ²

Al abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, resultará:

x ²-10x - 11 = 0,

de donde

x ₁= 11 , y x ₂= -1

Existen por consiguiente, dos series de números que tienen las propiedades exigidas: la serie de Rachinski

10, 11, 12, 13, 14

y la serie

-2, -1, 0, 1, 2.

Así es, en efecto,

(-2) ²+ (-1) ²+ 0 ²= 1 ²+ 2 ²

Pedro Crespo