Definición de número natural

por Marcel Mañé

 

Definición de una cosa es la operación mental de decir qué es esta cosa, mediante la fijación de su concepto.

 

La definición descriptiva de una cosa es la expresión de la enumeración de las características de esta cosa.

 

Definición descriptiva de número natural:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etcétera.

 

La definición esencial de una cosa es la expresión del conjunto al cual pertenece y de lo que distingue la cosa de los demás elementos del conjunto.

 

Para encontrar la definición esencial de número natural, distingamos primeramente los 2 ejemplos siguientes:

Ejemplo de número natural: 3

Ejemplo de número natural 3: un trío de músicos.

Un trío de músicos no es un ejemplo de número natural, sino un ejemplo del número natural 3. El número natural 3 no es lo mismo que un trío de músicos; el número natural 3 es lo que tienen en común todos los tríos y que los distingue de las parejas.

 

Un trío de músicos es un conjunto.

Una pareja de músicos es un conjunto.

Existe un conjunto cuyos elementos son parejas; por tanto, este conjunto es un conjunto de conjuntos.

 

Convengamos en decir que un conjunto es similar a otro conjunto si a cada elemento del primero le puede corresponder un elemento del segundo, y si a cada elemento del segundo le puede corresponder un elemento del primero. Véase en la figura 1 un ejemplo de un conjunto de 3 músicos y un conjunto similar de 3 violines.

 

                                                        Figura 1

 

correspondencia

 

 
Elipse:     o

  o


      o
Elipse:      x

    x

  x
 

 

 

 

 

 

 


                            conjunto de 3 músicos                        conjunto de 3 violines

 

 

 


Véase en la figura 2 un conjunto de algunos conjuntos de tríos.

 

                                                        Figura 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                      conjunto de algunos conjuntos de tríos

 

Si en la figura 2, en lugar de representar algunos conjuntos de tríos, representásemos todos los conjuntos de tríos, tendríamos un ejemplo de representación de un conjunto de conjuntos similares. Generalizando, podemos definir:

 

Número-natural-de-un-conjunto es el conjunto de todos los conjuntos similares entre sí. Por ejemplo, el número natural del conjunto de tríos.

 

Número natural es todo aquello que es conjunto de todos los conjuntos similares entre sí. O, si se prefiere: número natural es todo aquello que es número-natural-de-un-conjunto. Por ejemplos, el número natural 3, el número natural 4.

 

Para que una definición sea buena, debe cumplir los siguientes 4 requisitos:

 

1. Que la definición sea más clara que lo definido. La definición esencial antes expuesta no es más clara que lo definido, luego no es buena. Para cumplir con este requisito, es mejor la definición descriptiva del principio de este escrito que es la que suele emplearse. Pero dicha definición esencial es más rigurosa.

 

2. Que el nombre de lo definido no esté repetido en la definición. La definición esencial "número natural es todo aquello que es número-natural-de-un-conjunto" no parece a primera vista que cumpla este requisito; pero lo cumple, al igual que en el siguiente ejemplo:

Color-de-un-conjunto es el conjunto de todos los conjuntos cuyos elementos reflejan las mismas longitudes de onda de luz.

Color es todo aquello que es color-de-un-conjunto.

 

3. Que la definición lo sea de todas las cosas definidas y que no lo sea de ninguna cosa distinta. Este requisito se cumple, teniendo en cuenta que dentro de la definición no entra un número natural infinito.

 

4. Que la definición pueda sustituir lo definido. Este requisito se cumple, aunque entonces la definición es más confusa, tal como ocurre en otras definiciones. Diríamos entonces:

Número natural es todo aquello que es el conjunto de todos los conjuntos si a cada elemento de uno de éstos le puede corresponder un elemento otro de éstos, y si a cada elemento del segundo le puede corresponder un elemento del primero. No obstante es preferible el desglose en 2 definiciones: la de conjunto similar y la de número natural.

 

Nadie ha dicho que la definición esencial de número natural sea fácil de redactar. Si alguien conoce una definición mejor, sería de agradecer que la mostrase.