Los cuatro cuadrados

Un conocido teorema afirma que todo número entero N puede ser descompuesto como suma de cuatro cuadrados a lo sumo. Esta descomposición puede ser múltiple. Así, 50 = 5² + 5² = 7² + 1². Llamaremos ν(N) al número de descomposiciones posibles de este tipo. Así, ν(50) = 2.

A medida que N se hace mayor, aumenta ν(N), al parecer sin límite superior.

Con ayuda del ordenador hemos tabulado los correspondientes valores de ν(N) hasta N = 10000, obteniendo una gráfica de este tipo:

Puede verse que el valor medio de ν(N) aumenta de forma aproximadamente lineal con N, según la fórmula aproximada ν(N) = N/20. No obstante, los valores individuales de ν(N) son bastante dispersos. El máximo valor registrado es ν(9450) = 664.

Presentan interés aquellos valores de N para los que ν(N) = 1, es decir, que sólo admiten una descomposición única en suma de 4 cuadrados. Podríamos llamarlos “Enteros de descomposición cuadrática única” (EDQU). Estos valores, hasta 10000, son:

1		1^2
2	Primo	1^2+1^2
3	Primo	1^2+1^2+1^2
5	Primo	2^2+1^2
6	2·3	2^2+1^2+1^2
7	Primo	2^2+1^2+1^2+1^2
8	2^3	2^2+2^2
11	Primo	32+12+1^2
14	2·7	3^2+2^2+1^2
15	3·5	3^2+2^2+1^2+1^2
23	Primo	3^2+3^2+2^2+1^2
24	2^3·3	4^2+2^2+2^2
32	2^5	4^2+4^2
56	2^3·7	6^2+4^2+2^2
96	2^5·3	8^2+4^2+4^2
128	2^7	8^2+8^2
224	2^5·7	12^2+8^2+4^2
384	2^7·3	16^2+8^2+8^2
512	2^9	16^2+16^2
896	2^7·7	24^2+16^2+8^2
1536	2^9·3	32^2+16^2+16^2
2048	2^11	32^2+32^2
3584	2^9·7	48^2+32^2+16^2
6144	2^11·3	64^2+32^2+32^2
8192	2^13	64^2+64^2

Esta serie de números presenta unas características claramente perceptibles. Tras un primer grupo de EDQUs primos (23 es el mayor) aparecen exclusivamente potencias impares de 2 o esas mismas potencias multiplicadas por un número primo. La descomposición en cuadrados es siempre de números pares, a su vez potencias de 2, y siempre consta de 2 cuadrados para las potencias de 2, y de 3 cuadrados para los restantes.

Todo esto se resume en el gráfico siguiente, en el que se contabilizan el número de valores para cada ν(N). Como puede verse, para unos 2250 números, ν(N) toma valores entre 0 y 50. Estas frecuencias van disminuyendo al aumentar N, de forma que apenas se presentan valores de ν(N) superiores a 400. No cabe duda de que esta gráfica de masas se iría desplazando hacia la derecha si el intervalo estudiado fuera superior a 10.000.

Todo esto sugiere una serie de preguntas:

• ¿Es indefinida la sucesión de PQ? La intuición dice que sí, pero, ¿cómo demostrarlo?
• ¿Existe un algoritmo generador de los valores de N para los que ν(N) = 1?
• ¿Se ajusta f[ν(N)] a algún tipo de distribución estadística conocida?
• ¿Se mantiene siempre la tónica de los EDQU?
• ¿Cómo varía la curva f[ν(N)] al aumentar el límite superior de N?
• ¿Se mantiene siempre la descomposición en dos o tres cuadrados para los EDQU?

JMAiO, BCN, abr 08

Precisiones de M. A. Lerma

Sometí el artículo a Miguel Ángel Lerma, quien, como es habitual en él, lo redondeó a la perfección. He aquí sus comentarios:

Sobre el problema de la descomposición de un número en suma de cuadrados, te recomiendo el siguiente artículo de Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_four-square_theorem

En particular te puede interesar el siguiente resultado:

"In 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi found an exact formula for the total number of ways a given positive integer n can be represented as the sum of four squares. This number is eight times the sum of the divisors of n if n is odd and 24 times the sum of the odd divisors of n if n is even (see divisor function)."

La forma de contar el número de representaciones es diferente de la tuya, lo que Jacobi contaba era el número de soluciones enteras de la ecuación

(1)     n = x^2 + y^2 + z^2 + t^2

incluidas soluciones negativas como (x,y,z,t) = (1,-1,1,0).

En tu recuento de soluciones veo que descuentas permutaciones y cambios de signo.

No es de extrañar que muchos de tus casos de "descomposición única" sean potencias de 2, porque en esos casos el único divisor impar es 1, y el número total de soluciones "a la Jacobi" es 24, que tras descontar permutaciones y cambios de signo se quedan en una cuando el exponente es impar:

 2^(2k+1) = (2^k)^2 + (2^k)^2

(con cambios de signo y permutaciones salen las 24 de Jacobi).

Si el exponente de 2 es par porque entonces hay dos descomposiciones:

 2^(2k) = (2^k)^2

y

 2^(2k) = (2^(k-1))^2 + (2^(k-1))^2 + (2^(k-1))^2 + (2^(k-1))^2

Con cambios de signo y permutaciones la primera genera 8 soluciones a la Jacobi, y la segunda genera las 16 restantes.

Esto resuelve el problema completamente para potencias de 2: una única descomposición si el exponente es impar, y dos si es par.

Para números primos p también se puede resolver el problema completamente.  Los únicos divisores de p son 1 y p, su suma es p+1, y el número de soluciones enteras de la ecuación (1) es 8(p+1). Tras descontar cambios de signo y permutaciones el número de descomposiciones resulta ser no inferior a 8(p+1)/384 = (p+1)/48, por lo tanto no puede haber primos mayores que 47 con descomposición única, y tú ya has encontrado todos los que son menores que 47 (el mayor es 23).

Sobre si el número de descomposiciones puede crecer indefinidamente, la fórmula de Jacobi muestra claramente que la respuesta es afirmativa.

Al final preguntas si los enteros de descomposición única se descomponen siempre en suma de dos o tres cuadrados (salvo por las pocas excepciones que has hallado al principio).  La respuesta es otra vez afirmativa.  Según un teorema de Legendre (probado por Gauss), para que hagan falta cuatro cuadrados el número tiene que ser de la forma 4^k (8m+7).  Según la formula de Jacobi el numero de soluciones seria al menos 64(m+1), y tras descontar cambios de signo y permutaciones vemos que no puede haber descomposición única si m > 7.

La otra posibilidad seria encontrar un cuadrado n^2 que no se pueda escribir como suma de dos, tres o cuatro cuadrados. No es difícil ver que n=1 es el único caso en que eso no es posible —obsérvense los casos particulares en los que el máximo divisor impar de n es pequeño, y aplíquese la formula de Jacobi si n tiene divisores impares grandes.

En fin, el tema es sin duda interesante.