LA CONSTANTE DE KAPREKAR
Los ordenadores han permitido el acceso a curiosas
estructuras numéricas cuya irregularidad recuerda la de los números primos. Una
de ellas es la constante de Kaprekar, hallazgo del matemático indio de este
nombre, que ha enriquecido recientemente el acervo de la matemática recreativa.
En su presentación clásica, se parte para su definición
de un número N de cuatro cifras no todas iguales. Ordenadas éstas en sentido
descendente y ascendente se forman otros dos números, gra(N) y peq(N), cuya
diferencia es N1. Reiterado el algoritmo en éste se llega a un N2, y así
sucesivamente. El caso es que en siete reiteraciones como máximo se alcanza el
número K4=6174, al que podemos denominar "Constante de Kaprekar de cuarto
orden".
Es muy fácil construir programas para el PC que nos
reproduzcan este resultado. Lo curioso es la irregularidad de cada
"trayectoria" y la cantidad de reiteraciones necesaria para alcanzar
K4. Un cómputo de los 9000 números de 4 cifras arroja el siguiente
resultado:
No. Reiteraciones No. de números
0 1
1 365
2 519
3 2124
4
1124
5 1379
6 1508
7 1980
Hasta aquí lo conocido. Pero se nos ocurre preguntarnos
qué sucederá con un número de cifras distinto a 4. Como lema general, es
inmediato deducir que a lo sumo tras la primera aplicación del "algoritmo
Kaprekar" se alcanzará un múltiplo de 9.
Por tanto para 2 cifras es suficiente estudiar las
sucesiones generadas por 09, 18, 27,... 90. El último de estos números produce:
81, 63, 27, 45, 09.
En esta sucesión están contenidas las generadas por los
restantes del grupo. Por ello es fácil concluir que la constante de Kaprekar de
segundo orden vale K2 = 09.
Casi igual de obvio es el caso para tres cifras. Si es
gra(N)=ABC, y por tanto peq(N)=CBA, su diferencia será X9Y, donde Y es el
complemento a 9 de X. Conque el estudio
habrá que reducirlo ahora al grupo 099, 198, 297,... 990. El primero de
sus términos genera la sucesión
099, 891, 792, 693, 495.
Y también ésta contiene las producidas por los restantes,
conque K3 = 495.
Las 4 cifras ya no admiten un tratamiento teórico tan
simple, por lo que no hay más remedio que limitarse a lo obtenido por la
computadora. Y si con todo nos atrevemos con las cinco cifras, la cosa se
complica más todavía. Pues ahora ni siquiera aparece ninguna constante, sino
hasta tres ciclos distintos:
Ciclo I: 74943, 62964, 71973, 83592
Ciclo II: 63954, 61974, 82962, 75933
Ciclo III: 53955, 59994
El
caso es que estos ciclos son alcanzados con bastante rapidez (5 reiteraciones
como máximo), pero nunca hallamos una
sola constante "autorreproductora". K5 no existe.
Con 6 cifras, el comportamiento es mixto. Por una parte
aumenta notablemente el número de reiteraciones necesarias para la
estabilización (hasta 13), pero ésta conduce a tres posibilidades distintas:
Ciclo IV: 851742, 750843, 840852, 860832, 862632, 642654,
420876
Constante K'6 = 631764
Constante K"6 = 549945
¿Qué ocurrirá con el algoritmo de Kaprekar para 7, 8, 9 ó
más cifras? Ordenadores más potentes que el mío podrán determinarlo
empíricamente, pero veo muy difícil que la teoría de números pueda pronosticar
nada por ahora. La investigación, en éste como en tantos otros campos, parece
reducida por el momento al terreno del puro empirismo. Se cumple así una vez
más una regla de carácter gödeliano: la ampliación de las posibilidades
operativas gracias a una nueva herramienta (en este caso la computadora)
permite resolver una serie de problemas pendientes, pero plantea otros mucho
más ambiciosos, para los cuales las fuerzas cibernéticas resultan
insuficientes. A esperar la metacomputadora tocan.
Barcelona, marzo 1987