En torno a la conjetura de Viaña

«Debieras hacerme saber cuando te dedicas a pensar en matemáticas, porque mientras tú vas sumando mentalmente números primos yo te voy restando, también mentalmente, cualidades.»

Advertencia de Isabel, mi mujer, que sufre mal mis tránsitos matemáticos.

Declaro sin pudor que la teoría de números, la reina de las matemáticas como la calificara Gauss, siempre me ha parecido esquiva y desagradecida, y nunca he dejado de tener la convicción de que, si alguna vez me interesara de veras por los números primos, no tardaría en perder mujer, hijos y amigos, y que terminaría mis días vistiendo harapos y sin haber conseguido probar nada. Así que los números primos, ni verlos, me prometí a mí mismo desde muy pronto. La consecuencia es que a estas alturas carezco de número de Erdös pero a cambio puedo comprar cada mañana el periódico sin temor a sufrir la hostilidad del perro del vecino o, lo que sería peor, de su perro. Pero hete aquí que el artículo de Jorge (José A. J.) Viaña (Carrollia 89, página 15) ha conseguido pulsar alguna cuerda resonante en mi interior y me ha motivado algunas consideraciones, que ahora siguen.

Recordemos que nuestro amigo parte del cuadrado mágico formado por primos (hallado por Henry Dudeney en 1917):

67	1	43
13	37	61
31	73	7

y que, disconforme con la heterodoxia que implica la presencia del número 1 con pretensión de primo, plantea dos cuestiones:

1.- En primer lugar, intenta obtener otro cuadrado mágico sumando una constante (que demuestra que solamente puede terminar en 0 o en 6) a cada uno de los elementos del cuadrado original. Con la ayuda de una tabla de números primos que alcanza hasta 55.079 comprueba que ello no es posible. Invita a los lectores a proseguir el intento o a demostrar que no existe un cuadrado tal.

2.- Conjetura que

A) el objetivo es imposible, y

B) que ello es debido a la presencia del número 1 como elemento integrante del cuadrado.

Seguramente le gustará saber a Jorge que su conjetura es cierta (en cuanto al punto 2.A) y que admite una fácil demostración. Se observa que el resto módulo 7 de los elementos del cuadrado mágico recorre el rango completo posible: es 0 para 7, 1 para 1 y 43, 2 para 37, 3 para 31 y 79, 4 para 67, 5 para 61, y 6 para 13. En consecuencia, el resto módulo 7 de cualquier constante que se sume a los elementos del cuadrado complementará necesariamente a cero (en aritmética modular) al resto módulo 7 de alguno de los elementos originales del cuadrado, dando siempre como resultado al menos un número compuesto, que será divisible por 7. Así, por ejemplo, si la constante a sumar es 2346, al ser 2346 ≡ 1 (mod 7) se tendrá 2346 + 13 ≡ 0 (mod 7), y el elemento derivado del 13 es compuesto, al ser congruente con cero módulo 7. La conjetura (punto 2.A), queda así confirmada.

Esta circunstancia, y no la presencia del número 1 en el cuadrado (sugerencia 2.B), es la razón de que no sea posible obtener un cuadrado mágico formado por primos a partir del propuesto mediante el procedimiento de sumar una misma constante a cada uno de los elementos iniciales.

En cuanto a la resistencia de Jorge a conceder carta de ciudadanía a la unidad como número primo, nos inclinamos de su parte, pero conviene hacer un par de consideraciones:

a) Hubo un tiempo dilatado durante el cual el número 1 se contaba entre los primos sin consecuencias traumáticas; este periodo se prolongó hasta inicios del siglo XIX, siendo Henri Lebesgue uno de los últimos matemáticos insignes que consideraron la unidad número primo. Por otra parte, gran cantidad de trabajos sobre los primos no pierden su validez por el hecho de incluir al 1 entre los mismos.

b) La comunidad matemática está en general de acuerdo en que la exclusión de la unidad del campo de los primos es meramente un convenio debido a razones de comodidad, para evitar tener que establecer salvedades en muchos casos. Históricamente la razón principal se debió al teorema fundamental de la aritmética, que necesita excluir al 1 para que resulte única (con independencia del orden) la descomposición de un número en factores primos. Este convenio adquirió carácter de definición, en virtud de la cual el número 1 no es primo ni compuesto.

Pero si hemos de buscar razones más profundas que apoyen la idea de Jorge de que la unidad no es primo por alguna característica estructural, habría que atender a la evolución de la aritmética hacia esquemas formales de nivel de abstracción creciente, en cuyas formulaciones la unidad se destaca como un elemento que ocupa un lugar separado a la vez que privilegiado. En las aludidas generalizaciones se destacan clases de números llamados unidades que son los elementos que tienen un inverso multiplicativo; sucede así con (1,-1) en los enteros y con (1,-1,i, -i) en los enteros gaussianos. En ciertos sistemas numéricos hay infinito número de unidades. Es pues la matemática moderna es la que concede un lugar separado a la unidad. En los anillos numéricos (suma, resta y producto) la clase de las unidades cobra especial importancia y emerge antes de que se pueda definir el concepto de primo. No es difícil hallar definiciones del tipo

Un elemento p del anillo D, no cero y no unidad, se llama primo si no puede descomponerse en factores p = a b, ninguno de los cuales es una unidad en D

o bien de este otro

Se definen como primos los elementos irreducibles de cualquier dominio integral. Para el caso del anillo Z de los enteros, el conjunto de los elementos primos es el de los elementos irreducibles {...−11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, ...}.

No es que acabe ahí la cosa, pero esperamos que sea suficiente para conceder que en la matemática moderna la unidad ocupa un lugar aparte en relación con los primos, lo que dicho sea de paso da la razón a las consideraciones de Jorge en este sentido.

En lo que lamentamos no estar de acuerdo es con la afirmación que hace nuestro amigo acerca de que el método de la criba de Eratóstenes es el único conocido para determinar números primos. Por supuesto es un método posible, y de hecho es seguramente el más eficaz para encontrar números primos pequeños (pequeños relativamente al orden de los que se manejan en el estado actual de la disciplina), ya que emplea solamente sumas y operaciones de cambio de estado de elementos de un vector de variables de booleanas (cierto o falso, al coste de un único bit de memoria), pero para números de treinta o más cifras resulta un sistema muy lento.

Otro algoritmo posible, por ejemplo, es el que se conoce con el nombre de prueba por división, tan simple que podría calificarse de ingenuo: consiste en dividir por 2, 3, 3 + 2 k (k = 1, 2, ...) hasta superar la raíz cuadrada del número cuyo carácter primo se comprueba (o hasta que el cociente exceda al divisor). Se gana algo probando, a partir de 3, con 6 k ± 1, (k = 1, 2, ...) porque se evitan algunas comprobaciones. Este sistema es desde luego más lento que el cribado para producir primos, pero resulta más adaptable a la comprobación del carácter primo de un número particular. Con este sistema un PC ordinario puede identificar y contar los primos hasta cien millones en cuarenta minutos; para llegar a los mil millones ya son necesarias 18 horas y media (AMD Sempron™ processor 3000+, 1,81 GHz.). Con este método y haciendo uso del que actualmente parece ser el lenguaje de programación más prometedor de consentirlo Microsoft, el Ruby, hemos determinado el carácter primo del número repuno de orden 19, formado por diecinueve unos, pero este número de cifras marca el límite de lo posible mediante este procedimiento.

La determinación del carácter primo de un número (lo que en inglés se conoce como primality) es un campo al que se ha dedicado especial atención a partir de la década de los años setenta, cuando los números primos de gran tamaño se constituyeron en piezas clave para los sistemas de criptografía más avanzados. Varios de los algoritmos para la determinación del carácter primo de un número se basan en el llamado pequeño teorema de Fermat o en variantes del mismo. El 6 de agosto de 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena, del Instituto indio de Tecnología de Kanpur, hallaron un algoritmo determinista (AKS primality test) para el que demostraron que el tiempo de resolución es una función polinómica del número de dígitos del número cuyo carácter primo se indaga, lo que garantiza que dicho tiempo no se desorbita con el aumento del número de dígitos.

Si se tiene a mano un ordenador personal con la aplicación Mathematica no es difícil hacerse una idea de los enormes progresos que se han realizado en los algoritmos para la determinación del carácter primo de un número. La petición

PrimeQ[31415926535897932384626433832795028841]

en la que el número planteado está formado por las 38 primeras cifras del número π, da True como respuesta inmediata, verificando que dicho número es primo. Pero podemos ir más allá: el repuno primo que sigue al de orden 23 tiene 317 cifras, y si nos atrevemos a plantear

PrimeQ[(10^317 - 1)/9]

de nuevo la respuesta True se obtiene instantáneamente.

P. Crespo, julio 2006