LA BATALLA DE HASTINGS
El matemático inglés John Pell, nacido en 1610, es recordado por la ecuación que lleva su nombre, que de hecho le fue atribuida erróneamente por Euler.
La llamada ecuación de Pell es la diofántica: x2 = ny2 + 1 donde n no puede ser un cuadrado perfecto. Desde Arquímedes se buscaban métodos para solucionar esa ecuación. Bhâskara resolvió algunos casos particulares, y Fermat intuyó que tenía infinitas soluciones, cosa que fue finalmente demostrada por Lagrange.
El problema de La batalla de Hastings fue propuesto por Henry E. Dudeney, nacido en 1847, en su libro Amusements in Mathematics. Martín Gardner lo recoge en el libro titulado Mathemaical Puzzles of Sam Loyd. También José Mª Albaigès lo incluye en su libro ¿Se atreve Vd. Con ellos? bajo el jocoso título “...y encima perdieron”, del que copio el enunciado.
“Normandos y sajones se aprestaban en Hastings para la decisiva batalla (1066). Los hombres del rey sajón Harold se mantenían en formación compacta de trece cuadrados iguales. ¡Desgraciado del normando que intentaba penetrar en cualquiera de ellos, pues de un solo tajo su lanza era astillada y su cota de malla hecha jirones!... Cuando Harold se unió a sus guerreros, éstos formaron con él un único y poderoso cuadrado, lanzándose contra el enemigo entre fieros gritos”.
Dudeney en lugar de 13 cuadrados dice 61, lo que, como luego veremos, tiene cierta dosis de maldad.
Matemáticamente
el problema se plantea así:
13 n2 + 1 = m2
(Pell). De aquí deducimos que m/n = 
. Se trata pues de hallar dos números m y n
cuyo cociente se aproxime a 
y que satisfagan a la
vez a Pell. Para ello iremos calculando las sucesivas
“reducidas” (los sajones dicen “convergents”) del
desarrollo en fracción continua de 
e iremos comprobando
pacientemente si los respectivos numeradores y denominadores satisfacen a Pell.
En el caso de ser 13 los cuadrados, encontramos con relativa facilidad que la reducida nº 9 satisface a Pell, lo que nos lleva a un ejército de 421.201 guerreros. Pero en el caso propuesto por Dudeney, con 61 cuadrados, nuestro trabajo se complica arduamente hasta dar con la reducida nº 21, a la que correspondería un absurdo ejército de 3119882982860264401 combatientes sajones.
Hace cosa de 20 años utilicé una calculadora TI–59 para facilitar el tedioso cálculo. El programa tenía 79 pasos y estimé que la máquina habría necesitado cerca de 60 horas de funcionamiento hasta dar con la segunda reducida.
Vuelvo a recoger el tema, esta vez con la poderosa ayuda del programa matemático Derive y, como hoy las ciencias adelantan que es una barbaridad, según canta la zarzuela, el resultado se obtiene ahora en décimas de segundo con este corto programa:
HASTINGS(n) :=
IF
NUMERATOR (CONVERGENT (
,n))^2
= 13.DENOMINATOR (CONVERGENT (
,
n))^2 + 1
CONVERGENT (, n)
HASTINGS (n + 1)
Aristogeronte.
Madrid. Febrero 2003.