EL SALTO DE CABALLO INFINITO

J. F.-Prida. In memoriam

Mi buen amigo de años mozos José Fernández-Prida, al que recuperé por poco tiempo, me mandó un curioso problema encajable en la matemática recreativa, aunque de una complejidad inesperada. Empezaba numerando los cuadros de un tablero infinito de ajedrez de la siguiente forma:

10
6	11
3	7	12
1	4	8	13
0	2	5	9	14

Es decir, correlativamente según las diagonales, como se hace cuando quieren ordenarse los números fraccionarios. Seguidamente, partiendo de la casilla 0, un caballo va saltando hacia las demás según las reglas habituales, eligiendo siempre la casilla de número más bajo que no haya sido previamente ocupada. Éste es el aspecto del tablero tras 39 saltos:

36		46		57		69		80		92		103		115
	37		18
28		37		47		58		70		81		93		104
	20		15		38
21		29		38		48		59		71		82		94
	17		36		19
15		22		30		39		49		68		72		83
	14		21		16		36
10		16		23		31		40		50		61		73
	9		4		13		22		29		34
3		11		17		24		32		41		51		62
	6		1		8		31		12		25		28
3		7		12		18		25		33		42		52
	3		10		5		26		23		30		33
1		4		8		13		19		26		34		43
	0		7		2		11		32		27		24
0		2		5		9		14		20		27		35

Se plantean de inmediato dos preguntas:

• ¿Habrá siempre casilla disponible para el caballo?
• ¿Acabará cada casilla del tablero siendo ocupada alguna vez?

Quien sea aficionado al ajedrez conocerá el llamado “problema del caballo”, en el que una ruta de éste debe ocupar sucesivamente todos los escaques del tablero. Y sabrá que una de las soluciones más sencillas consiste en procurar saltar siempre hacia una casilla desde donde el repertorio disponible sea mínimo. Aun con esa guía, resolver el problema suele exigir varios tanteos, pues es frecuente llegar a algún callejón sin salida. Se intuye que otro tanto acabará sucediendo con ese ajedrez infinito, ya que en cada salto el caballo acaba metiéndose en escaques que pueden ser una trampa.

Efectivamente, con un programa Basic puede resolverse el problema. En el esquema adjunto mostramos los pasos finales del caballo, que termina su recorrido tras 2401 saltos.

1833	2008	2003	2132	2309	2138
1374 (48,3)	1427 (49,3)	1481 (50,3)	1536 (51,3)	1592 (52,3)	1649 (53,3)	1707 (54,3)
1830	1707	1832	1827	2006	2135
1374(48,2)	1427 (49,2)	1481 (50,2)	1536 (51,2)	1592 (52,2)	1650 (53,2)
1825	1828	2007	2004	2133	2400