Problemas
de Oscar Gutiérrez
Desde que descubrí esta
página de acertijos he pasado muy buenos momentos, y otros no tan buenos,
resolviendo problemas. Algo que también me gusta es plantearlos, así que aquí
te mando algunos míos, para una eventual publicación en Carrollia (¿es
posible?), pues dada su complejidad matemática es impensable tratar de
publicarlos en la revista de pasatiempos que colaboro. No te envío las
soluciones por si te apetece entretenerte con ellos; te las mando en otra
ocasión si estás interesado (te anticipo que tienen su aquél, espero). Te dejo
dos direcciones en las que es posible contactar conmigo, para cualquier cosa
que te interese (por si acaso intenta las dos, ninguna es mía). Atentamente,
Óscar Gutiérrez
UN MOMENTO,
POR FAVOR
Fundimos
un kilogramo de estaño y dejamos que se filtre, gota a gota, a través de una
capa de un metro de grosor. Dicha capa está formada por un gran número de
subcapas, de manera que al traspasar cada una de éstas, los átomos de estaño
líquido tienen igual probabilidad de moverse a derecha o izquierda. Al final
del recorrido, el metal se enfría hasta solidificar, formando una barra rígida.
Calcular el momento de inercia de la misma, respecto a su centro de gravedad,
sabiendo que los desplazamientos verticales (cambios de subcapa) son de igual
magnitud que los horizontales que los acompañan.
Habría
que especificar algunos aspectos:
1. Supongo que se trata de unas
capas bidimensionales (sin grosor).
2. Supongo igualmente que el
momento de inercia se refiere a un eje vertical.
En
estos supuestos, el estaño adoptará la forma de una campana de Gauss, y el
momento d einercia de ésta es precisamente la densidad por el cuadrado de la
desviación típica, que como es sabido vale 1. O sea que I = Ms2.
HÉCTOR Y
NÉSTOR
Héctor
busca en una fiesta de 200 personas a alguien cuyo aniversario coincida con el
suyo. Néstor, más exigente, quiere encontrar en una boda con 400 invitados una
persona que además de cumplir años el mismo día que él, también naciera en año
par. ¿Qué probabilidad tienen de encontrar lo que buscan?
En
el primer caso la cosa es sencilla: lim (1- 1/365)^200
= 0,5777. Esto es aproximadamente exp(-200/365) =
0,5781. En el segundo, es la mitad.
TIRO
PARADÓJICO
Se
lanza un proyectil formando un ángulo φ con la horizontal,
que según sabemos seguirá una trayectoria parabólica. El proyectil, una vez
alcanzada la altura máxima h, comienza a descender, perdiendo energía potencial
y adquiriendo energía cinética, hasta chocar con la Tierra. Supongamos que la
masa terrestre es sustituida por una masa igual, pero puntual, situada en lo
que consideraremos origen de coordenadas. El proyectil, en vez de golpear la
superficie terrestre, continuará su trayectoria descendente. Cuando esté a una
distancia del origen igual al radio terrestre, la energía potencial (y por
tanto la velocidad) será la misma que en el momento del lanzamiento. Sin
embargo, entonces no escapaba al campo gravitatorio y ahora sí lo hace.
Creo
que deberías modificar el enunciado, pues no acabo de entenderlo. Si el origen
de coordenadas es el punto de partida del proyectil, es claro que a éste le fue
comunicada una energía cinética infinita. Más bien creo se deduce del enunciado
que dicho origen es el centro de la Tierra, en realidad el proyectil no
describe entonces una parábola, sino una elipse muy próxima a aquélla en la
zona por encima del nivel de superficie terrestre, pero que se aparta en las
zonas “interiores” a la Tierra hasta rodear el centro.
LUZ CURVA
En
1915 Einstein probó que la luz podía propagarse en trayectorias curvas. Lo que
resultaba inédito era que fuera como consecuencia de la presencia de campos
gravitatorios, porque la Física Clásica ya contemplaba la posibilidad de tales
trayectorias. ¿Se le ocurre cómo conseguirlas?
En trayectorias en capas de un medio con el índice de refracción variable de manera continua (por ejemplo, el propio aire en los desiertos, fenómeno que puede provocar espejismos).
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