El mar, el barco y la moneda.
El poema de Jorge Luis Borges que reproducimos
seguidamente sugirió a JMAiO el problema que se enuncia después del mismo.
A UNA
MONEDA
Fría y tormentosa la noche que zarpé de
Montevideo.
Al doblar el Cerro,
tiré desde la cubierta más alta
una moneda que brilló y se anegó en las aguas barrosas,
una cosa de luz que arrebataron el tiempo y la tiniebla.
Tuve la sensación de haber cometido un acto irrevocable,
de agregar a la historia del planeta
dos series incesantes, paralelas, quizá infinitas:
mi destino, hecho de zozobra, de amor y de vanas vicisitudes,
y el de aquel disco de metal
que las aguas darían al blando abismo
o a los remotos mares que aún roen
despojos del sajón y del fenicio.
A cada instante de mi sueño o de mi vigilia
corresponde otro de la ciega moneda.
A veces he sentido remordimiento
y otras envidia,
de ti que estás, como nosotros, en el tiempo y su laberinto
y que no lo sabes.
Jorge
Luis Borges
Y
aquí viene el problema: Cuando J. L. Borges echó la moneda al mar, ¿qué
ocurrió con el nivel de éste? ¿Subió, bajó o permaneció constante?
Solución:
La solución podría razonarse de este modo: al tirar la
moneda, el barco deja de desalojar un
volumen de agua igual al peso de dicha moneda. Puesto que la densidad de la
moneda es mayor que la del agua (según el poema se hunde, cosa habitual en las
monedas que caen en el agua), el volumen de agua que deja de desalojar el barco
es mayor que el volumen de la moneda. El volumen total definido por el
continente y la superficie del agua, prolongada por el interior del barco, aumenta
en el volumen de la moneda y disminuye en el volumen referido que desaloja de
menos el barco; como este último es mayor que el de la moneda, el volumen total
desciende, y por tanto el nivel del agua baja.
Un análisis en términos matemáticos podría ser el que sigue.
Llamemos V al volumen delimitado por el continente y la superficie del agua,
prolongada ésta por el interior del barco. Sea A el volumen del agua, P el peso
del barco y M el de la moneda. Para simplificar las cosas supondremos que los
volúmenes y los pesos se expresan de modo que la densidad del agua resulte
igual a la unidad (litros y kilos, o gramos y centímetros cúbicos, por
ejemplo). Por el principio de Arquímedes, podemos plantear la relación
siguiente, válida antes del lanzamiento de la moneda:
V = A + P + M (1)
Ya
que P + M será el peso (volumen) de agua desalojado.
Una
vez lanzada la moneda, la relación será ahora la siguiente:
V’ = A + P + v (2)
Donde V’ será el nuevo volumen total y
v el de la moneda. Si ahora dividimos (2) entre (1) resultará, si llamamos δ a la densidad del material de la
moneda:
V’ / V = (A + P + v) / (A + P + M)
= (A + P + v)
/ (A + P + δ.v)
valor
que será inferior a la unidad puesto que es δ > 1. Concluimos que es V’ < V, de modo que el nivel del
agua descenderá.
Si
se suponen paredes verticales como borde del continente, el descenso del nivel
del agua es cuantificable al ser
a’ = a . (A + P + v) /
(A + P + δ.v)
donde a y a’ son las alturas del nivel
del agua antes y después de que la moneda haya entrado en el agua. En
condiciones ordinarias el valor de la diferencia es naturalmente ínfimo.
P.
Crespo, enero 2006
La gran ola, de Katsushika Hokusai