UNOS ESCURRIDIZOS PROBLEMAS DE M. A. LERMA

Fragmentos de la última correspondencia con M. A. Lerma, en Evanston (USA):

Carta de M. A. Lerma:

Te envío unos cuantos problemas que he visto aparecer en el grupo de news sci.math recientemente:

1. Probar que un cuadrado de lado unidad siempre puede cubrirse completamente con un número finito de cuadrados cuyas áreas suman 3.

2. Probar que cualquier número finito de cuadrados cuyas áreas suman 1/2 se pueden colocar dentro de un cuadrado de lado unidad sin que se solapen entre ellos.

3. Sea S(n) = suma de las cifras del numero n en base 10. Por ejemplo S(1234) = 10. Probar que para todo k > 2, S(9^k) > 9.

4. Sea * una operacion binaria definida sobre los números racionales con las siguientes propiedades:

i) Conmutativa: a*b = b*a
ii) Asociativa: a*(b*c) = (a*b)*c
iii) Idempotencia de cero: 0*0 = 0
iv) Distributividad de '+' respecto a '*':
(a*b) + c = (a+c) * (b+c)

Probar que * sólo puede ser una de las dos operaciones siguientes: a*b = max(a,b) ó a*b = min(a,b).

5. En una habitación se encierran N pistoleros. Cada uno elige al azar a cualquiera de los otros y a la voz de "ya!" todos disparan y matan al individuo elegido. El juego continúa hasta que sólo queda un pistolero vivo o todos caen muertos. ¿Cuál es el límite para N tendiendo a infinito de la probabilidad de que al final quede un superviviente?

Por lo que he podido ver nadie consiguió resolverlos en sci.math.

Carta de JM Albaigès;

Tus problemas son escurridizos a más no poder. El único que he sacado es el tercero (¡y parece tan fácil!), por un procedimiento rupestre: hallo informáticamente todas las terminaciones posibles de las potencias pares de 9, y veo que siempre suman sus cifras más de 9 (debo recorrer a las cinco cifras).

El de los tiradores es también muy curioso. Se intuye que el resultado será 1/e por permutaciones absolutas, pero no acabo de dar con el razonamiento, pues al ir muriendo tiradores dejan de ser aplicables los razonamientos correspondientes.

Mantenme informado de las novedades. Me gustaría publicarlos en el próximo [C].

Carta de MA Lerma:

Efectivamente. Creo que hay un libro con soluciones de algunos de los problemas que mandé, pero está agotado.Yo lo tengo pedido para la proxima reedición si sale. Tengo una idea de cómo enfocar los problemas geométricos pero no he desarrollado los detalles. De todos modos me da la impresión de que hay alguna manera ingeniosa de razonar que proporciona una solución relativamente simple.

Me temo que el método [para el de las 9^n] no funciona. Se puede demostrar que hay potencias de 9 terminadas en una ristra arbitrariamente larga de ceros seguida de un 1: ...00000000000001, con lo cual estudiar las terminaciones de las potencias de 9 no da ninguna pista. La prueba de este hecho se basa en que la siguiente ecuación:

9^x º 1 (mod 10ⁿ)

siempre tiene solución x en enteros positivos para todo n entero positivo dado. En efecto, considera la secuencia infinita de potencias de 9:

9⁰, 9¹, 9², 9³,...

Como sólo hay una cantidad finita de clases residuales modulo 10ⁿ necesariamente habrá dos potencias de 9, digamos 9^a y 9^b (a>b) que pertenecen a la misma clase. Por tanto 9^a º 9^b (mod 10), o lo que es lo mismo:

9^a - 9b * º 9^b (9^c - 1) º múltiplo de 10ⁿ

donde c = a - b. Como 9 no es múltiplo de 2 ni de 5, 9^c - 1 será necesariamente un múltiplo de 10ⁿ, y por lo tanto x = c es una tal solución.

De ahí se deduce que 9^c = múltiplo de 10ⁿ + 1 = número terminado en ...0000000000001 (n-1 ceros seguidos de un 1).

Carta de JM Albaigès

¡Mi gozo en un pozo! Efectivamente, repasando mi programa veo que hay algunas terminaciones que no tuve en cuenta. Bueno, a ver si los lectores de [C] tienen algo que decir.

¡Se esperan respuestas!