BLANCOS
Y NEGROS SEGREGADOS
Nuestro buen amigo Manuel Rodríguez ha
rescatado del olvido este problema, propuesto en su día como ejercicio de
examen en la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid. Según recuerda, el
tiempo concedido fue lo bastante escaso como para que nadie pudiera resolverlo
durante el examen.
En una localidad viven b familias de blancos y n
de negros. Al llegar Navidad, cada familia blanca felicita a todas las otras
familias blancas, y cada familia negra a todas las otras negras. Un año se borran
las direcciones de los sobres, y el cartero, para ahorrar trabajo, las reparte
al azar a partes iguales, resultando al final que cada familia, blanca o negra,
ha recibido exactamente 112 felicitaciones. ¿Cuántas familias blancas y cuántas
negras hay?
SOLUCIÓN
La ecuación a plantear es, obviamente:
Para simplificarla en lo posible, haremos en
primer lugar los cambios:
Y la ecuación se transforma en:
Que transformaremos de nuevo mediante los
cambios:
Quedando finalmente:
Las
únicas posibles terminaciones de un cuadrado son 1, 4, 5, 6, 9. Las de la suma
de dos cuadrados serán los números de la tabla:
|
|
|
Terminac. Cuadrados |
||||
|
|
|
1 |
4 |
5 |
6 |
9 |
|
Term. |
1 |
2 |
5 |
6 |
7 |
0 |
|
cuad. |
4 |
5 |
8 |
9 |
0 |
3 |
|
|
5 |
6 |
9 |
0 |
1 |
4 |
|
|
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
5 |
|
|
9 |
0 |
3 |
4 |
5 |
8 |
Es decir, que tanto n” como b” deberán
terminar en 4 ó en 8, o bien en 3 o en 7. Los primeros casos son imposibles,
pues (10x+2)2+(10y+2)2=100(x2+y2)+160(x+y)+128,
de modo que la penúltima cifra de la suma debería ser par, lo que no es el
caso. Análogamente descartamos la terminación 8.
Por otra parte:
Habrá que probar con las dos series {3, 13,
23,…153}; {7, 17, 27,… 157}, viendo cuándo se obtiene una raíz cuadrada exacta.
Es decir, habrá que hacer 30 ensayos. Con un
poco de paciencia se llega a una triple solución: (97,127), (127,97) y (113,
113). Deshechos los cambios, se llega a:
n = 105; p = 120
n = 120, p = 105
n = 113, p = 113.
JMAiO, abr 04