EL
TRIÁNGULO ALEATORIO
Fue Mariano Nieto, de
Madrid, quien propuso por vez primera en estas páginas el problema que
llamaremos “del triángulo aleatorio”: elegido al azar un triángulo en el plano,
¿cuál es la probabilidad de que sea obtusángulo? En [C-55] el mismo Mariano
ofrecía su solución: p = 0,75. Por mi parte ataqué el problema desde otro
ángulo, y llegué a la sorprendente conclusión de que esa probabilidad era…
¡uno!
Más carrollistas
se sumaron a la tertulia sobre el triángulo. José Ángel González Rodríguez (Josechu), de
Tudela, aportó una variante del problema, considerando el caso en que el
triángulo estaba inscrito al azar en una circunferencia, de lo que resultaba
una probabilidad de 0,75.
No doy más detalles sobre
estas soluciones, que hallaréis en los correspondientes [C]. Por mi parte volví
a la carga aplicando el método de Monte-carlo a un
triángulo contenido en el interior de un cuadrado, cuyo lado se podía hacer
crecer indefinidamente. Nuevo resultado desconcertante: la probabilidad resultó
ser casi cero.
¿Qué hacer, a dónde
dirigirse? El intercambio por e-mail
comenzó con Miguel A. Lerma, actualmente en Houston (Texas, USA), quien aportó
su punto de vista:
El resultado
depende de cómo se «genere» el triángulo en cuestión. No hace mucho vi un
razonamiento que decía más o menos lo siguiente: genérese el triángulo y
colóquese sobre su lado más largo, que llamaremos AB y cuya longitud tomaremos
como unidad de medida. El tercer punto estará en la intersección de sendos
semicírculos trazados con vértice en A y en B y radio AB = 1. La zona donde
debería estar C para que el triángulo fuera obtusángulo es un semicírculo con
centro en el punto medio de AB y radio 1/2. Las áreas respectivas son: la de la
ojiva p/3
- Ö3/4,
y la del semicírculo p/8. La razón de áreas es 
= 0,6394..., y ésa será también la probabilidad si el
triángulo se genera de modo que la posición del tercer vértice tenga una
distribución de probabilidad uniforme sobre la ojiva.
El resultado
depende de la hipótesis de que la posición del vértice opuesto al lado más
largo se distribuye con probabilidad uniforme sobre la ojiva. Alguna hipótesis
de este estilo es necesaria porque no es posible tomar al azar tres puntos (o
incluso un solo punto) con probabilidad uniforme sobre un plano infinito.
Sobre el problema de Josechu, dijo Miguel Ángel:
Me parece que
el problema es equivalente al de la probabilidad de que al colocar tres patas
al azar en una mesa circular ésta no se sostenga de pie. Si recuerdo
correctamente, para n patas la probabilidad es 
(generalmente en este
problema se pide la probabilidad de que la mesa sí se sostenga, la cual es
igual a 
).
El problema resultaba ya
curioso por la contradicción entre algo tan intuitivamente posible como parece
que es “tomar un punto al azar” en un dominio infinito y la dificultad de
plasmar esto en ecuaciones. Mi profesor de estadística en la Escuela de
Caminos, para ilustrar que la “probabilidad cero” no es lo mismo que la “imposibilidad”,
usaba precisamente este ejemplo: “Si pinchamos
la recta en un punto dado, ¿cuál es la probabilidad de que éste tenga, por
ejemplo, abscisa 1?” La probabilidad es obviamente cero, pero lo mismo podría
decirse del punto que resultará elegido.
Todo esto parece indicar que
es posible “elegir un punto al azar”, con probabilidad uniforme, sobre una
recta o un plano. Una manera intuitiva de llegar a ello sería como límite de
elegir el punto en un segmento o en un cuadrado progresivamente mayores, pero…
mi gozo en un pozo en cuanto vi la contradicción antes apuntada al aplicar el
método de Monte-carlo.
Miguel Ángel concluyó:
Entiendo la
idea de identificar una distribución uniforme en un dominio infinito con una
especie de límite de distribuciones uniformes en dominios acotados de tamaño
creciente, pero eso tiene un problema: el resultado puede depender de la forma
de los dominios acotados.
Considera por
ejemplo la probabilidad de que al elegir un segmento al azar éste resulte estar
inclinado menos de 45º respecto a la horizontal. Si tomas dominios en forma de
rectángulo, el resultado va a ser independiente del tamaño del rectángulo, pero
sí va a depender de su relación base/altura. Por ejemplo, si los rectángulos
son bajos y alargados la probabilidad va a salir cerca de uno, pero si son
estrechos y altos entonces la probabilidad será próxima a cero.
Creo que este ejemplo es
definitivo, e ilustra muy claramente la precaución que hay que usar cuando se
dicen cosas como “Tomemos tal figura (o tal número) al azar…”.
JMAiO, feb 98