TEORÍA DE LAS COINCIDENCIAS

Consideramos "coincidencia" a un suceso improbable. Propendemos intuitivamente a maravillarnos cuando se produce, pero la ley de los grandes números nos dice que dado un suceso posible resultante de un "ensayo" propiciador de su aparición, por improbable que ésta sea, reiterado un número suficiente de veces el ensayo, acaba siendo probable. Por tanto, en estricto rigor, sólo se podrá hablar de "coincidencia" cuando el número de ensayos era reducido en relación con los que exige la probabilidad matemática.

Intentemos cuantificar lo dicho. Sea un suceso de probabilidad p muy pequeña. Realicemos un número de ensayos igual a

La probabilidad de que el suceso no se verifique en un ensayo es (1 - p). La de que en N ensayos no se haya verificado ni una sola vez es (1 - p)^N, y, por tanto, la de que se haya verificado al menos una vez será la complementaria:

p_c = 1 - (1 - p)^N

Para valores pequeños de p, este valor se aproxima bastante a:

p_c = 1 - e^-1 = 0,632...

Es decir, que es bastante probable (del orden de 2/3) que el suceso se haya dado alguna vez a lo largo de la serie de ensayos. Si el número de éstos se dobla, triplica, etc., la probabilidad de alguna coincidencia aumenta espectacularmente:

p_c(2) = 1 - e^-2 @ 0,865

p_c(3) = 1 - e^-3 @ 0,950

p_c(4) = 1 - e^-4 @ 0,982

La lotería de Navidad tiene 60.000 números. Jugando a ella 60.000 años, la probabilidad de que nos tocara alguna vez sería unos 2/3. Como este período es muy superior a la vida humana, consideramos "coincidencia" que nos toque, pero el punto de vista del lotero es distinto: para él lo natural, lo seguro, es que haya un agraciado.

Esta circunstancia nos da la clave para entender que una coincidencia siempre es subjetiva, en función del que la experimenta. Para éste, el suceso producido era improbable, pero en el conjunto de la Naturaleza, que dispone de millones y millones de ensayos posibles, es naturalísimo que uno de ellos acabe generando el suceso.

Estudiemos otro caso: el de un objeto procedente de un lugar, que vuelve al cabo de un tiempo al mismo. Ciertamente, si el número de posiciones de posible ocupación es grande, el suceso será improbable, pero en el conjunto de objetos transpuestos ya no ocurre lo mismo.

Uno de los más conocidos teoremas de la Estadística, el relativo a las "permutaciones absolutas", establece que, dada una permutación de n elementos, la probabilidad de que al ninguno de ellos ocupe la misma posición de la permutación inicial es:

Esta expresión, para n grande, tiende a e^-1 = 0,368... Es decir, que la probabilidad de que no se den permutaciones absolutas es 1 – e^-1 = 0,632...

¡Otra vez el mismo número! Dicho de otra forma, supuestos n objetos procedentes de n “nichos” y esparcidos posteriormente al azar entre ellos, la probabilidad de que al menos uno de ellos regrese al lugar inicial es aproximadamente 2/3.

Otro supuesto "milagro" se da cuando coinciden dos elementos de entre un grupo entre sí después de una serie de ensayos: por ejemplo, en una reunión de 30 personas, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellas celebren el cumpleaños en el mismo día del mismo mes? La respuesta es sorprendente: 0,706. En efecto, es este caso la coincidencia no hace falta que se dé entre una persona dada y otra de las 29 restantes, sino entre dos personas cualesquiera.

Detallemos un poco más ese concepto: si en la reunión hubiera dos personas de cumpleaños A y B, sólo puede darse un tipo de coincidencia: A=B. Pero si son tres, cabe una cualquiera de estas igualdades : A=B, A=C, B=C. Para cuatro personas, el número de posibilidades aumenta a 6: A=B, A=C, A=D, B=C, B=D, C=D. El número de posibles coincidencias sigue un ritmo similar al cuadrado del número de personas.

En un grupo de 30, la probabilidad de que la primera y la segunda personas no coincidan es 364/365. La probabilidad de que la tercera no coincida con ninguna de las dos anteriores es:

Y así sucesivamente. La probabilidad de que ninguna de las 30 coincida con las 29 restantes es:

Es decir, la probabilidad de alguna coincidencia será la complementaria, o sea 0,706, casi 3/4. Si fueran 40 los presentes, tendríamos un valor de 0,891, y para 50 hay casi seguridad: 0,970.

Consideremos dos conjuntos de elementos A y B. Es esencial, para aclarar las ideas, distinguir entre tres niveles coincidencias. :

1. Coincidencia entre un suceso dado a priori del conjunto A y otro suceso también dado a priori del conjunto B.

2. La coincidencia entre un suceso dado a priori del conjunto A otro cualquiera del conjunto B.

3. La coincidencia entre dos sucesos de ambos conjuntos.

Ilustremos lo dicho con un ejemplo. Si voy por Nueva York, ¿cuál es la probabilidad de encontrarme allí con mi amigo Eufrasio? Muy pequeña, desde luego, pero la probabilidad de encontrar a un amigo cualquiera de mi círculo de amistades es ya mucho mayor. Y la probabilidad de que dos amigos cualesquiera de ese círculo se encuentren allí entre sí alguna vez es ya seguridad absoluta.

Vamos con un grosero intento de cuantificación. Supongamos las siguientes cifras:

· Número de conocidos de mi círculo: 300.

· Viajes a Nueva York de cada uno de ellos: uno cada diez años.

· Duración de cada viaje: 10 días.

· Habitantes en el centro de esa ciudad (única zona que vamos a recorrer todos): 1.000.000.

· "Situaciones de coincidencia" (gente con la que me tropiezo por la calle en mi visita a Nueva York): 10.000 diarias.

La probabilidad de encontrar a Eufrasio se compondrá de varias:

1) Que nuestros viajes coincidan. En 10 años hay 365 decenas de días, por lo que la probabilidad de que ninguno de los míos esté dentro de la decena de mi amigo es:

2) Que Eufrasio sea una de las personas con las que me tropiezo (recordemos que éstas pueden repetirse). La probabilidad de que no sea una de ellas es 1 - 10^-6, por lo que la de que no sea ninguna de ellas a lo largo de los diez días (100.000 "encuentros") es:

(1 - 10^-6)¹⁰⁰⁰⁰⁰ = 0,9048

Por tanto, la probabilidad final de que Eufrasio sea una de las personas será:

p = 0,027062*(1 - 0,9048) = 0,00258

Este valor es ciertamente pequeño, pero, qué ocurre si prescindo de Eufrasio y me conformo con encontrar a alguno de mis amigos? Puesto que hay 1.000, fácilmente deduzco que la probabilidad de encontrar alguno vale:

p' = 1 - (1 - 0,00258)³⁰⁰ = 0,539

Es decir, que nada tiene de particular que eso ocurra. Y, si pasamos a dos cualesquiera de ellos, se llega a la práctica unidad:

p" = 1 - (1 - 0,539)³⁰⁰ @ 1

En la práctica, seguridad absoluta. Pero cuando esos amigos se encuentren, no dejarán de hacérmelo saber, con lo que los 1.000 del grupo podremos sorprendernos por la "extraordinaria coincidencia".

JMAiO, abr 94

TEORÍA DE LAS COINCIDENCIAS (2)

Entre los artilugios utilizados por los aficionados a la parapsicología interesados en los fenómenos telepáticos, quizá ninguno tan popular como las cartas Zener, formadas por un mazo de cinco palos, de cuatro cartas exactamente iguales cada uno. Los palos se distinguen por diversos dibujos (estrella, ondulación, cruz, etc.). Puestos de acuerdo el transmisor y el receptor, a una hora convenida y en intervalos regulares el primero baraja el mazo y va extrayendo cartas de él una a una, anotándola y tratando de transmitirla por vía telepática. El receptor anota a su vez las que a él se le van ocurriendo. El cotejo posterior de ambas listas ilustrará la eficacia del proceso telepático.

Este procedimiento fue incluso utilizado en la histórica travesía del submarino nuclear Nautilus bajo los hielos del casquete polar en 1958. En esta situación resultaba imposible comunicarse con la base con los métodos entonces conocidos, por lo que era una buena ocasión para experimentar sobre la telepatía sin posibilidad alguna de fraude. Los resultados obtenidos fueron buenos, según se dijo.

Este es el típico comentario que acompaña a los resultados de estas experiencias, donde nunca he oído que haya habido un 100 % de aciertos, sino que "el porcentaje de ésos supera ampliamente el previsible por el cálculo de probabilidades". Cálculo, añadamos, bastante elemental, pues cualquier estudiante es capaz de efectuarlo y llegar al resultado del 20 %.

Los porcentajes de aciertos obtenidos cuando el caso se comenta en la prensa suelen estar en torno al 40 %, que los experimentadores consideran habitualmente como inexplicables y rotundamente demostrativos de la comunicación por vía telepática.

¿Es así? Acudamos al cálculo de probabilidades, pero en serio. Para cada vaticinio sobre una carta, la probabilidad de acertar es p=0,20. En una tanda seguida de 20 extracciones, la probabilidad de obtener k aciertos será:

Formemos la tabla de las probabilidades correspondientes:

k	%	p(k)	Sp(k)
0	0%	0,012	1,000
1	5%	0,058	0,988
2	10%	0,137	0,931
3	15%	0,205	0,794
4	20%	0,218	0,589
5	25%	0,175	0,370
6	30%	0,109	0,196
7	35%	0,055	0,087
8	40%	0,022	0,032
9	45%	0,007	0,010
10	50%	0,002	0,003
11	55%	0,000	0,001
12	60%	0,000	0,000
13	65%	0,000	0,000
14	70%	0,000	0,000
15	75%	0,000	0,000
16	80%	0,000	0,000
17	85%	0,000	0,000
18	90%	0,000	0,000
19	95%	0,000	0,000
20	100%	0,000	0,000

Éste es el contenido de las columnas:

· k: Número de aciertos en una barajada.

· %: Porcentaje de aciertos, o sea k/20.

· p(k): Probabilidad de obtener k aciertos según la fórmula (1)

· Sp(k): Suma de p(k) para todos los valores desde k hasta 20. Representa la probabilidad de obtener k o más aciertos en una barajada.

Como era de esperar, p(k) es máximo para k=4, en que el porcentaje es 0,218. La probabilidad de obtener 4 ó más aciertos es 0,589, lo que se aviene bastante con nuestro sentido intuitivo.

Sin embargo, ¿es tan raro obtener 8 ó más aciertos? De ningún modo, pues vemos que la probabilidad es 0,032. Un par de investigadores que realicen una y otra vez la prueba obtendrán ese porcentaje de aciertos, "que desafía todo el cálculo de probabilidades" en un 3,2 % de ocasiones. Claro es que éstas son las que harán figurar en su informe. Hay que suponer que al menos se harían un centenar de experiencias en el Nautilus, conque...

Más raro sería obtener 12 aciertos o más, lo que de todos modos ocurre una vez de cada 10.000. Por ello, este resultado todavía está al alcance de experimentadores tercos. Mayores porcentajes sí desafían ya al cálculo de probabilidades, pero nunca leí que se consiguieran.

JMAiO, ago 94