DE LA PRODIGIOSA (?) EXPANSIÓN DE LA DEVOCIÓN A SANTA ROSITA DE LIMA.

J. A. de Echagüe

Hace ya unos cuantos años estuvo muy en boga una curiosa práctica lúdico-mística que con el pretexto de extender la devoción a Santa Rosita de Lima o a Santa Gema Galgani, por citar algún caso, pienso más bien procuraba entretenimiento a ociosos o desocupados.

¿No recuerdan? Un buen día se recibía una carta con una oración al Santo o Santa de turno y con instrucciones estrictas para que enviase a su vez copias de la misma a amigos o conocidos a fin de extender rápidamente por todo el orbe tan devota práctica. Normalmente se prometían venturas a quienes tal hiciesen, y se advertía muy seriamente de los riesgos eternos en que podrían incurrir quienes adoptasen actitudes tibias o indiferentes, y nada digamos si lo tomaban a broma.

La cuestión que ahora nos interesa es si un proceso como el indicado asegura realmente la extensión del "mensaje" a todo el mundo, supuesto que nadie se lo tome broma y todos colaboren; ¿será así?

Si analizamos el problema nos encontramos con que el proceso que implica es mucho más complejo de lo que podría pensarse a primera vista y desde luego, es sumamente interesante. Pensemos que no es una cuestión tan trivial en vez de un juego intrascendente o de una devoción exagerada podría tratarse de un problema de reproducción biológica; o de un proceso de desintegración atómica, que obviamente no suelen ser cuestiones de broma.

Lo mejor es examinar un caso concreto viendo a dónde nos conduce. Para mejor apreciarlo pondremos un caso muy simplificado pero que contiene todos los elementos básicos del problema. Supondremos que tenemos un grupo compuesto por SEIS amigos: A; B; C; D; E y F. Uno cualquiera de ellos —por ejemplo A— envía sendas cartas a DOS (2) amigos distintos con instrucción de que cada uno haga lo mismo con otros dos (2) amigos de la lista de seis que todos poseen, los cuales al recibir sus cartas a su vez harán lo mismo; etc., etc.

Conviene hacer algunas precisiones. Todo el que reciba una carta deberá enviar dos copias a otros dos miembros de la lista, pero sólo una vez; esto es, si alguien vuelve a recibir carta por segunda o tercera vez (lo que es perfectamente posible) no debe volver a enviar cartas a nadie; queda ya fuera del juego aunque puede seguir recibiendo avisos.

Quien reciba carta (por primera vez) enviará dos cartas a dos miembros de la lista elegidos al azar de entre los otros cinco. Lógicamente nadie se envía cartas a sí mismo pero sí es muy posible que se envíe a quien previamente la envió, ya que los destinatarios ignoran quien les envía la carta que reciben. Creo que no hay que hacer más precisiones, el asunto es muy sencillo y pienso que se entenderá sin dificultad alguna,

Como es natural el "juego' termina cuando TODOS los participantes, incluido el que lo inició, han recibido al menos una carta, y por tanto TODOS han enviado DOS cartas.

El siguiente esquema indica cómo sería un juego terminado felizmente entre los seis amigos.

El proceso comienza con A siendo E el último en recibir carta al proceso. En realidad E envía sus cartas ya inútiles pero no puede saberlo. Al final todos han enviado dos cartas, y han recibido una al menos. Algunos han recibido más de una carta. El proceso en forma de grafo resulta quizá poco claro y es interesante expresarlo en forma de árbol para que se vea como se desarrolló cada una de las fases (figura 2).

En nuestro ejemplo el proceso se terminó en tres fases aunque existe un inútil cuarto nivel. Como podemos ver al elegir cada cual al puro azar sus destinatarios se dan repeticiones.

Un mismo participante puede recibir varias cartas, incluso en el curso de la misma fase del proceso. Como nadie sabe quién es el remitente de la carta que recibe, bien puede suceder que él envíe la suya a aquél. En fin pueden darse toda suerte de situaciones que el lector puede imaginar.

Naturalmente la situación más curiosa es la de “bloqueo” o colapso del proceso. Para que el "juego" continúe en cada fase (si no se finaliza, claro) es preciso que el menos uno de los destinatarios de cartas en dicha fase sea “nuevo”, esto es que no hubiese recibido ni enviado cartas en fases anteriores. Si no se da el caso el proceso se bloquea al no haber nadie que lo continúe enviando cartas.

En el siguiente esquema puede verse un proceso de seis personas colapsado antes de que todos hayan recibido su carta y enviado las suyas. También damos el proceso en forma arborescente para ver cómo se desarrolla por fases (figuras 3 y 4).

Como se puede apreciar en dichos esquemas, el proceso se detiene en el nivel 3, por lo que no hay cuarta fase debido a que en el paso del 2º al 3º nivel los cuatro que salen (A, F, A, E ) ya habían "salido" en niveles anteriores y enviado sus respectivas misivas por lo que ahora no lo hacen, colapsándose el proceso sin terminar al faltar B, que se queda sin recibir la oración a Santa Rosa, con grave riesgo quizás para su salud espiritual. El azar es el azar.

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Los procesos como el descrito pueden ser considerados como sistemas dinámicos de naturaleza estocástica o aleatoria, presentando facetas muy interesantes cuyo análisis se saldría de este contexto. Algo sí podemos decir no obstante. Hemos visto dos casos, ambos con n= 6 personas participantes; el primero terminaba completamente el juego, mientras que en el segundo caso (figs. 3 y 4) el proceso terminaba en colapso sin finalizar, es decir dejando a algún participante fuera. Es evidente que “a priori” es impredecible cuál pueda ser el resultado de un proceso tal, que está sometido a leyes probabilísticas. La cuestión fundamental es así: dado un juego o proceso como el de la oración de Santa Rosita de Lima, con n participantes, ¿cuál es la probabilidad de terminación completa, o de colapso?

Cuando n es pequeño puede calcularse directamente, si bien incluso para n del orden de ocho o nueve el número de casos posibles puede ser ya excesivo para un cálculo directo. De hecho con sólo siete participantes pueden darse decenas de miles de procesos diferentes. Con cuatro participantes, que es el mínimo posible, la probabilidad de finalización completa es del 85,1 %, lo que indica casi un 15 % de probabilidad de colapso antes de finalizar, Al crecer n disminuye la probabilidad de terminación que es del 67,8% para n = 5; y del 60,1 % para n = 6, lo que supone que en este último caso ya un 40 % de los procesos terminarían en colapso, sin haber aparecido todos los participantes. ¿Qué ocurrirá con valores de n elevados como sería en la realidad ?

Ningún proceso terminará completamente antes de un número de pasos o niveles P tal que 2^p+1 ³ n+1. Es fácil comprender que ningún proceso se prolongará más allá de un número de pasos o niveles igual a n-1. Pero puede colapsarse en cualquier momento a partir del segundo nivel.

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Analizar la expansión y desarrollo de la devoción a Santa Rosita puede ser más difícil de lo que sus entusiastas creen, e incluso tornarse intratable pese a disponer de ordenadores, para n muy elevados. Lo mejor es diseñar lo que suele denominarse un "modelo de simulación” que sea manejable. Puede comprobarse que para valores de n muy elevados (al menos n = 10.000) tiende a adoptar lo que técnicamente se denomina un comportamiento "asintótico", que puede representarse bien por la ecuación recurrente:

Donde X_t es el número de personas nuevas en el paso o nivel t reciben carta por primera vez, y A_t-1 el número de personas que hasta el momento t-1 han recibido la orden de rezar.

Lo más curioso es que el proceso de Santa Rosita tiende a adoptar un comportamiento casi independiente del número de personas que tomen parte (n). Desde luego la probabilidad de colapso crece con n, de tal suerte que para valores de este parámetro con sólo tres cifras ya es muy escasa la probabilidad de que todos los participantes reciban carta. Pero lo extraño es que siempre parece detenerse cuando e! numero de personas que han recibido la misiva se acerca al 86,87 % del total, u que supone que un 13,13 % aproximadamente está de antemano condenado a no recibir los beneficios espirituales del caso. Sería por cierto muy interesante que alguien averiguara el significado —si es que tienen significado— de números como 0.868709... ó 0.131291..., que determinan los límites de expansión del mensaje independientemente de n.

Curiosamente si en vez de dos cartas cada participante enviase tres parece que la feliz terminación completa del proceso —y la extensión de la devoción al cien por cien de la población— quedarían casi garantizadas, pero con dos no. El crecimiento por duplicación aleatoria tiene al parecer límites muy precisos, resultado que como se comprende tiene una importancia que trasciende con mucho de la anécdota de este artículo. Sin duda la GENTE DE MENTE sacará consecuencias por su cuenta.