LAS "QUINIELAS" DE LA ESCUELA DE CAMINOS

Durante mis estudios de Ingeniero de Caminos, el profesor de una asignatura solía poner como examen una "quiniela" formada por 400 preguntas, cada una de las cuales podía ser contestada de una y sólo una entre cuatro variantes propuestas.

El profesor consideraba que para aprobar era necesario saber 200 preguntas. Y, para desechar el factor suerte de los resultados, de la puntuación obtenida por cada estudiante restaba 100 aciertos, alegando que ésa era la "puntuación extra" que se obtenía por el mero efecto del azar.

Este proceder era muy contestado, pero teníamos que aguantarnos. ¿Estábamos en lo cierto al protestar?

En caso de que fuera así, ¿cuántos aciertos debía haber eliminado en realidad el profesor de cada ejercicio para tener la certeza de que, con una probabilidad del 95 %, no suspendía a nadie injustamente? ¿Cuántos aciertos debía haber eliminado realmente el profesor para terner la certeza de que, con una probabilidad del 95 %, no aprobaba a nadie que no lo mereciera?

-o-o-o-o-o-

SOLUCIÓN

Que el proceder de nuestro profesor era injusto es casi evidente. Si un estudiante conoce x preguntas y cumplimenta al azar las restantes, su "puntuación extra" debida al azar será, por término medio, igual a:

x' = (400 - x)/4

Y su puntuación total:

A = x + x' = x + (400-x)/4 = 100 + 3x/4

Al quitar 100 puntos de este resultado, la "puntuación expurgada" queda en A' = 3x/4. Según el método de nuestro profesor, un estudiante necesitaba, para aprobar, que 3x/4 = 200, o sea x = 267 respuestas conocidas.

Una primera aproximación a la justicia hubiera sido suprimir sólo las respuestas acertadas por azar, que no son 100, sino (400-x)/4. Fácilmente se halla que esto equivale a transformar el valor obtenido A (el que conoce el profesor) en

A' = 4(A-100)/3

Es decir, tras restar 100 de A, tomar los 4/3 del valor resultante. Sólo así se garantiza que, por término medio, cada estudiante reciba la puntuación que merece.

Pero esto es insuficiente, pues, ¿quién garantiza que un estudiante va a obtener, por efecto del azar, (400 - x)/4 aciertos suplementarios? Pudiera ocurrir que fueran menos, con lo que sería suspendido por culpa del azar. La expurgación del profesor nos obligaba a participar en un juego en el que el premio o castigo era nuestra propia nota.

La clave para resolver el problema está en que, si el valor medio de aciertos es m = (400-x)/4, la desviación típica de este valor vale:

La distribución binaria de las "puntuaciones extra" puede considerarse asintóticamente normal, conque, en un 95 % de los casos, quedarán por encima de

Siendo k el valor en las tablas de la función normal para el que í(k)=0,95, o sea k=1,6449.

Éste es por tanto el valor que el profesor debería haber expurgado en una actitud "suave" (estar seguro de que no más de un 5 % de los estudiantes serían suspendidos injustamente). En la actitud "rigurosa" (estar seguro de que no más de un 5 % aprueban injustamente), la fórmula sería la misma, cambiando el signo - de la anterior expresión por un +.

Para poner A' en función de A, que es el valor conocido por el profesor, éste debería resolver la ecuación:

A = x + E

Con lo que hallaría A' = f(A). El desarrollo es un poco tedioso, conque en la tabla adjunta van los resultados para dos variantes de A'. La "suave", A'(1) y la "rigurosa", A'(2).

Obsérvese que en la actitud "suave", el estudiante aprueba con unos 245 puntos, y en la contraria necesita 260 (¡siempre menos de los que exigía nuestro "hueso"!).

Claro es que para estar totalmente seguro de no suspender a nadie injustamente, el profesor debería conformarse con la puntuación 200. En el caso contrario, debería exigir la 400.

EXPURGACIÓN QUINIELA ETSICCP
A	A'(1)	A'(2)	A	A'(1)	A'(2)	A	A'(1)	A'(2)	A	A'(1)	A'(2)
0	-122	-156
10	-109	-142	110	23	-6	210	154	131	310	285	269
20	-96	-128	120	36	8	220	168	145	320	298	283
30	-83	-115	130	49	22	230	181	159	330	311	297
40	-69	-101	140	62	35	240	194	172	340	324	311
50	-56	-88	150	76	49	250	207	186	350	337	325
60	-43	-74	160	89	63	260	220	200	360	350	339
70	-30	-60	170	102	76	270	233	214	370	363	354
80	-17	-47	180	115	90	280	246	228	380	376	368
90	-3	-33	190	128	104	290	259	241	390	389	383
100	10	-19	200	141	117	300	272	255	400	400	399

JMAiO, junio 93