EL PROBLEMA DE MARIANO RIBÓN

Mi amigo y colega Mariano Ribón me plantea el siguiente problema: “Sacamos n bolas de una urna, y todas resultan ser blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que la (n+1)-ésima sea también blanca?”

En mi opinión, se trata de un problema de inferencia estadística, y como tal no puede ser resuelto más que si hacemos una serie de suposiciones acerca de la ley que rige la distribución de las bolas. Si para empezar suponemos que la probabilidad de extraer bola blanca es constante y vale p (distribución binomial), es claro que los mejores estimadores para la distribución son:

Con arreglo a estos estimadores, la probabilidad de que la siguiente bola blanca sería 1.

Sin embargo, esta estimación no nos deja del todo satisfechos. Para conseguir una mejor aproximación, podríamos partir de un punto más genérico: que la probabilidad de obtener bola blanca es p < 1, conque la de haber obtenido n bolas blancas en n ensayos es pⁿ.

De todos modos, desconocemos cuál es esa probabilidad. Sin embargo, hagamos ahora una suposición crucial: que la probabilidad de la probabilidad sigue una distribución uniforme, entre 0 y 1. En este caso, a cada valor posible p corresponde una probabilidad de sacar n bolas blancas igual a pⁿdp, y por tanto el valor medio de los valores obtenidos para distintos valores vale:

Este valor se corresponderá con la probabilidad de haber sacado bola blanca en el caso más general. Análogamente, la probabilidad de obtener n+1 bolas blancas en n+1 ensayos sería:

Apliquemos ahora el teorema de Bayes, según el cual la probabilidad a posteriori de que se haya dado una entre varias posibles causas actuantes es la probabilidad de que ésta generara el resultado partida por la suma de todas las probabilidades. O sea, en este caso, la probabilidad de seguir obteniendo bola blanca en función del hecho de que se hubiera obtenido hasta entonces siempre bola blanca vale:

Por ejemplo: si es 100 extracciones se ha obtenido siempre bola blanca, la probabilidad de que ocurra lo mismo en la extracción 101ª será

Paradójicamente, la probabilidad de que en la segunda extracción se obtenga bola blanca tras haberla obtenido en la primera es p = 2/3 = 0,6667. Se explica esta aparente anomalía recordando que, en caso de un solo ensayo, solamente la mitad de los posibles valores de p hubieran dado el resultado de 1 bola blanca. Por tanto, la probabilidad para ello era ½. La probabilidad de obtener 3 bolas blancas en el caso de distribución uniforme de la probabilidad de la probabilidad es , conque la probabilidad de obtener tres bolas blancas en función de haber obtenido antes 2 valdría 2/3.

Josep M. Albaigès

Barcelona, abril 99

SOBRE EL PROBLEMA DE LEWIS CARROLL

Mariano Ribón objeta a la solución dada en mi libro ¿SE ATREVE VD. CON ELLOS? que el mono debe subir mientras el peso baja, alegando que como no actúan fuerzas exteriores, el cdg del conjunto no puede variar.

Sin embargo, en nuestra opinión, sí actúan fuerzas exteriores: las de reacción del apoyo de la polea. De hecho, el principio de funcionamiento “normal” de la polea las exige, pues en caso de izado de un peso cualquiera desde el suelo solamente pueden equilibrarse el conjunto de la fuerza de tracción y el peso (ambas en la misma dirección) con una reacción de valor doble aplicada en dicho apoyo.

Imaginemos el mono y el contrapeso (que ahora habría que llamar “contramasa”) en el espacio (sin gravedad), cada uno al extremo de un hilo recto. Es claro entonces que un tirón del mono se corresponderá con un acercamiento mutuo con la contramasa. En la Tierra, la polea actúa solamente como “redireccionador” de las fuerzas, conque sigue dándose el mismo caso.

De hecho, yo mismo me he izado a veces por una polea tirando del otro extremo del hilo.