EL
PROBLEMA DEL DADO CASQUIVANO
Mariano Nieto propone uno de
sus interesantes problemas:
Lanzamos un dado y nos preguntamos por la probabilidad de
que, antes de salir el 6, hayan salido todos los números 1, 2, 3, 4 y 5 en cualquier orden, con o sin repetición, es decir,
una secuencia como ésta: 334511126
sería favorable.
Supongamos que la aparición
del primer 6 no debe producirse hasta el lanzamiento n+1, y calculemos ante
todo el número de “casos posibles” es decir, el número de posibles lanzamientos
del dado. Éste corresponderá claramente al número de variaciones con repetición
totales que pueden producirse con 6 elementos tomados n a n. Dicho valor será 
.
Y pasemos ahora a la
determinación de los “casos favorables”. Éstos formarán parte del subconjunto
de permutaciones con repetición de n elementos en las que no aparece ningún 6,
o sea obviamente 
.
Pero de éstas habrá que
descontar aquéllas en que no aparezca ningún 1, ningún 2, etc., pues todos los
números deben aparecer al menos una vez. El número 1 no aparece en 
de las permutaciones
anteriores, y otras tantas el 2, y el 3, y el 4, y el 5. O sea 5×4n en total.
Pero también de éstas habrá
que descontar las contadas dos veces, o sea aquéllas en que no aparece ningún 1
ni ningún 2, o ningún 1 ni ningún 3, etc. En total, 
.
Y ahora hay que descontar de
este descuento las permutaciones, ya contadas, en que no aparece ningún 1 ni
ningún 2 ni ningún 3, o ningún 1, ningún 2 ni ningún 4, etc. En total. 
.
Y así sucesivamente. Es
decir, que en total el número de permutaciones será:
|
|
La probabilidad buscada será
por tanto
En la tabla adjunta podemos
ver los valores de la probabilidad y su evolución con n.
|
TABLA DE VALORES DE
LAS PROBABILIDADES |
|||||||||||
|
PROBLEMA DEL DADO
CASQUIVANO |
|||||||||||
|
n |
p(n) |
n |
p(n) |
n |
p(n) |
n |
p(n) |
n |
p(n) |
n |
p(n) |
|
1 |
0 |
6 |
0.039 |
11 |
0.082 |
16 |
0.047 |
21 |
0.021 |
26 |
0.009 |
|
2 |
0 |
7 |
0.06 |
12 |
0.076 |
17 |
0.04 |
22 |
0.017 |
27 |
0.007 |
|
3 |
0 |
8 |
0.075 |
13 |
0.069 |
18 |
0.034 |
23 |
0.015 |
28 |
0.006 |
|
4 |
0 |
9 |
0.083 |
14 |
0.061 |
19 |
0.029 |
24 |
0.012 |
29 |
0.005 |
|
5 |
0.015 |
10 |
0.084 |
15 |
0.054 |
20 |
0.025 |
25 |
0.01 |
30 |
0.004 |