EL PROBLEMA DEL AUTOBÚS
El otro día viajaba yo en autobús por un barrio
inhabitual. Observando las impasibles caras de los viajeros, mutuamente
ignorándose, se me ocurrió pensar si sería probable que en un autobús con
pasaje aleatoriamente recogido en toda la ciudad se produjera el encuentro
entre dos conocidos.
Vamos a cuantificar el problema. Supongamos que la ciudad
de Barcelona tiene 3.000.000 de habitantes, que cada persona tiene unos 1000
conocidos dentro de la ciudad y que en autobús viajábamos 100 personas. ¿Cuál
es la probabilidad de que dos al menos de los viajeros se conocieran entre sí?
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SOLUCION AL PROBLEMA DEL AUTOBÚS
Llamemos n a la población total, c al número
de conocidos y a al aforo del autobús. Empecemos por el primer viajero. La
probabilidad de que no conozca al segundo es el cociente de favorables partido
por posibles, esto es:
La
probabilidad de que, además, tampoco conozca a la tercera valdrá:
Y asi
sucesivamente, hasta el a-ésimo:
Conque
la probabilidad de que el primer viajero no conozca a ninguno vale:
De la
misma forma calculamos la probabilidad de que el segundo viajero no conozca al
tercero, al cuarto... Y así hasta el (a-1)-ésimo.
.............................
El
producto de todas estas probabilidades será la probabilidad de que ningún
viajero se conozca entre sí. O sea:
p =
[(n-c)/n][(n-c-1)/(n-1)]2[(n-c-2)/(n-2)]3....
......[(n-c-a+2)/(n-a+2)]a-1
Observemos
que esta expresión se puede simplificar, ya que los valores (a,c) son pequeños
frente a n, conque los anteriores cocientes son todos iguales aproximadamente a
1 - c/n. Quedará así:
Lo
que a su vez es aproximadamente igual a:
De hecho, para el valor pedido, por el método
aproximado hallamos p = 0,192, lo que
es tanto como decir que existe una probabilidad de un 80,8 % de que haya
conocidos en el autobús.
Es decir, que la probabilidad e un encuentro
entre conocidos, quizá contra lo que podría pensarse a primera vista, es
bastante grande. Desde luego, aumenta bastante rápidamente con el pasaje del
autobús. A título de comentario, éstos serían sus valores para distintos
aforos:
|
a |
p |
|
40 |
0,229 |
|
60 |
0,446 |
|
80 |
0,651 |
|
100 |
0,808 |
|
120 |
0,907 |
Observación:
No es difícil construir un programa de ordenador para hallar los valores
exactos de p. Para el caso estudiado de a = 100, es p = 0,186. Es decir, que el
método aproximado utilizado es suficiente
Este problema guarda bastante similitud con
el de la repetición de la fecha de cumpleaños entre los personajes de una
reunión. Como en aquél, se observa que un número pequeño de personas es
suficiente para engendrar una alta probabilidad de "encuentro"
Barcelona, septiembre 1987