¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD

DE QUE UN TRIÁNGULO INSCRITO

EN UNA CIRCUNFERENCIA SEA AGUDO?

Nuestro eficaz colaborador Josechu plantea este problema, muy similar, aunque de alcance más limitado, que el que propuso hace un par de trimestres Mariano Nieto. Como suele ocurrir con todos los problemas referidos a probabilidades en el continuo, en aquella ocasión tuvimos que vérnoslas con la correcta definición de “triángulo al azar”.

En este caso el planteamiento es razonablemente más sencillo. Creo que no habrá dificultades por parte de nadie en aceptar como “triángulo inscrito al azar” el que resulta de elegir al azar sus tres vértices en la circunferencia.

Para simplificar el problema, elijamos los tres puntos no simultánea sino sucesivamente, lo que no le resta generalidad. Una vez elegido el primero, al que llamaremos A, tomémoslo como origen angular.

Elijamos ahora al azar el segundo vértice. El ángulo central comprendido entre éste y el primero es a. La probabilidad de que el punto B quede entre el intervalo a y a + da es, obviamente, .

Para que el triángulo sea acutángulo, los tres vértices no deben caer dentro de la misma semicircunferencia. Es decir, que el vértice C debe estar situado precisamente en el interior del arco PQ, definido de modo que AQ = BP = p (ver figura).

La probabilidad correspondiente vale . Por tanto, la probabilidad total, extendida a todo el recorrido del punto B (entre -p y p), será:

Es decir: la mayoría de los triángulos (los ¾) serán obtusángulos.

JMAiO, ene 98