UN PEQUEÑO PROBLEMA EN ESTADÍSTICA
Para
la realización de un heliostato, un aparato que debe apuntar al Sol,
posicionándose cada hora, programé dos microprocesadores. El primero envía una
señal exactamente cada minuto y el segundo toma esta señal incrementando el
minuto, hasta que llega a 60, que incrementa la hora y posteriormente el día,
mes y año.
Sabiendo la hora y fecha del
momento, el segundo microprocesador calcula la posición que debe tener el
heliostato y controla sus motores una vez cada hora durante el día.
Cuando conecté el invento, parecía
que funcionaba bien. Esperé que pasara una hora para comprobar que el siguiente
movimiento lo hacía correctamente, pero pasó exactamente una hora y un minuto
para el siguiente movimiento. Error de programación, pensé, debe contar el
minuto 0 y el minuto 60, de forma que salta cada 61 minutos. Esperé hasta la
segunda hora que, para sorpresa mía, pasaron exactamente 62 minutos. La tercera
hora coincidió con 60 minutos. Llegué a la conclusión que, de forma aleatoria,
cada varios minutos uno no es admitido por el segundo microprocesador. Al cabo
de 24 horas el retraso era de 32 minutos, o sea que cada 45 minutos uno se
pierde. Como el procesador hace constantemente un escaneado entero a las 700
líneas del programa, pensé que si la señal del minuto le llega cuando el
escaneado pasa por unas líneas determinadas, no incrementa la variable del
minuto. O sea 700/45, unas 16 líneas. Me volví loco[1] revisando el programa
hasta que llegué a la conclusión que debía ser otra cosa: en la línea anterior
a la de recepción del minuto hay una operación que da 0 como resultado y esto
provoca un error (quizá por defecto de concepción del chip), por lo que
intercalé un par de líneas realizando una operación ficticia con resultado distinto
de 0.
Una vez probado de nuevo, descubrí
que el funcionamiento había mejorado mucho pasando de los 32 a 4 minutos de
desfase. Parece que iba por el buen camino. Pues bien, ahora corrijo el
programa intercalando una segunda operación ficticia. Siguiendo la misma lógica
parecería que ahora el desfase sería de 0,5 minutos diarios, o un minuto cada 2
días. Pero para saber si funciona bien, esta vez debo esperar mucho más. No hay
suficiente con dos días ya que el minuto perdido puede llegar tanto en la primera
hora como en la que hace 120.
En este momento es cuando decido
desempolvar mis modestos conocimientos de probabilidad, para saber a cada hora
que pasa funcionando bien, las probabilidades que el error sea inferior a medio
minuto cada día.
Ahí viene el problema:
Parece lógico pensar que si pierde
aleatoriamente un minuto cada dos días, las probabilidades de que el primer día
pierda un minuto son del 50% (0,5 sobre 1). Siguiendo la misma lógica, las
probabilidades de que ocurra el suceso durante la primera hora, son de 1/48, ya
que dos días son 48 horas, por lo tanto tenemos que la probabilidad de que la
primera hora sea correcta, no se haya pasado ningún minuto, son de
47/48=0,97916666.
Hasta
aquí, el razonamiento me parece correcto. Sigamos. La probabilidad de que la
segunda hora sea también correcta será de 0,979166662, o sea
0,95876736. Por la misma lógica, la probabilidad de que al cabo de 24 horas (un
día) no haya perdido ningún minuto, será
de 0,9791666624 =0,6033355 lo cual no coincide con el 50% (0,5) que
decíamos antes. ¿Dónde está el gazapo?
Ignasi
Sivillà
Nota de JMAiO: El razonamiento no es correcto (aplicándolo al revés, resultaría que la probabilidad de que en cuatro días pierda un minuto sería del 100 %, cosa obviamente falsa). Si es p la probabilidad de pérdida de un minuto (y nada más que uno) en un día, en dos días será:
p(2) = 2p(1-p) = ½
Resuelta esta ecuación, curiosamente da otra vez p = ½ (es casualidad: no tiene por qué ocurrir siempre así). La probabilidad de pérdida de 1 minuto en 3 días sería, por ejemplo, p(3) = 3p(1-p)2 = 3/8.
¡Ojo! Una cosa es la probabilidad de que una cosa ocurra precisamente una sola vez, y otra que ocurra al menos una vez (lo que estaba implícito en el razonamiento aplicado por Ignasi).
En general, la “pérdida” se distribuye
según una función binomial: 
. Pero esto nos llevaría lejos.