Paradoja de las bolas
Enunciado del problema:
En un
saco una persona ha puesto 2 bolas.
Puede que haya puesto 2 bolas blancas, que haya puesto 2 bolas negras o que haya puesto 1 bola blanca y 1 bola negra. ¿Cuál
es la probabilidad de que si yo
saco las 2 bolas, éstas sean blancas?
Resolución del problema:
La probabilidad de un suceso es el cociente de la división del
número de casos favorables al suceso por el número de
casos posibles, si se prevé que, tomando
un número grande de los casos, se observará
aproximadamente igual cantidad
de cada caso posible.
Yo puedo decir:
El
número de casos favorables es 1: que la persona haya puesto 2 bolas blancas.
El
número de casos posibles es 3: que la persona haya puesto 2 bolas
blancas, que haya puesto 2 bolas negras, que haya puesto 1 bola blanca y una bola negra. Entonces:
Probabilidad pedida
= 1/3
Pero la persona que pone las bolas puede decir:
El
número de casos posibles es 4: que yo haya puesto
2 bolas blancas, que yo haya puesto
2 bolas negras, que yo haya puesto
primeramente 1 bola blanca y después
1 bola negra, que yo haya puesto primeramente 1 bola negra
y después 1 bola blanca. Entonces:
Probabilidad pedida
= 1/4
Conclusión del problema:
Yo digo
1/3 y la persona que ha puesto las bolas dice 1/4. Aparece pues una paradoja. Pero me parece que tengo una solución a esta paradoja; está en otra página.
Solución de la paradoja
de las bolas
A
primera vista, una posible solución
consistiría en hacer el siguiente experimento: la otra
persona coloca 1000 veces las bolas
y yo extraigo 1000 veces
las bolas. Si el número de veces que saco 2 bolas blancas se parece más a 333 que a 250, concluiremos que la probabilidad pedida era 1/3. Si se parece más a 250 que a 333, concluiremos
que la probabilidad pedida
era 1/4.
Para que
este experimento sea válido, la persona que pone las bolas debe decidir la colocación de bolas al azar para que todos los casos sean igualmente probables; sino, el experimento no es válido.
Para que la colocación sea
al azar, dicha persona no tiene más remedio
que escoger entre 2 métodos
de decisión:
Primer método:
Por ejemplo, hecha un dado al aire; si sale 1, pondrá 2 bolas blancas en el saco; si sale 2, pondrá 2 bolas negras; si sale 3, pondrá simultáneamente 1 bola
blanca y 1 bola negra; si sale otro
número, repetirá la tirada.
Segundo método:
Por ejemplo, hecha un dado al aire; si sale 1, pondrá 2 bolas blancas en el saco; si sale 2, pondrá 2 bolas negras; si sale 3, pondrá primeramente 1 bola blanca
y después 1 bola negra; si sale
4, pondrá primeramente 1
bola negra y después 1 bola blanca; si sale otro número, repetirá la tirada.
No es necesario efectuar el anterior experimento. Para resolver la paradoja, basta con
que esta persona me diga cuál
metodo de decisión ha empleado. Si ha escogido el
primer método, la solución
es 1/3; si ha escogido el segundo
método, la solución es 1/4.
Si no quiere decirme cuál metodo de decisión ha empleado, el problema
no tiene solución por falta
de datos.
Marcel
Mañé