OTRA VEZ EL PROBLEMA DE MONTY HALL

(Véase Carrollia nº 66. Pág. 15)

Un “showman” de la TV te da a elegir entre tres grandes cajas cerradas. Una de ellas contiene un flamante automóvil, las otras dos están vacías. Con independencia de tu elección, el “showman”, -que conoce el contenido de cada caja-, antes de comprobar el de la elegida por ti, abre una de las otras dos que resulta estar siempre vacía y, a continuación, te ofrece la posibilidad de cambiar tu elección. ¿Te conviene el cambio?

La solución es que conviene aceptar el cambio. Este resultado aparenta ir contra el sentido común y por ello suele dar lugar a enconadas discusiones. En efecto, parece que cuando el “showman” abre una de las cajas vacías, la probabilidad de acierto es ½ ya que ante nosotros quedan dos cajas en una de las cuales está el coche, y no hay indicios para inclinar nuestra decisión a favor de una de ellas.

Sin embargo la realidad es que, si aceptamos el cambio, nuestra probabilidad de ganar, que en el momento inicial de la elección es de 1/3, aumenta hasta 2/3.

Razonemos este resultado: llamemos a la que encierra el premio caja P y a las vacías, caja 1 y caja 2. Si mi elección fue la caja P y decido cambiar habré perdido, pero si mi elección fue la 1 habré ganado con el cambio; lo mismo sucede si mi elección hubiera sido la 2, luego si acepto el cambio tendré dos casos favorables frente a uno adverso.

Este razonamiento impecable, no lo es para algunas personas. Además se plantea la siguiente cuestión: si al cambiar de caja mi probabilidad de acierto es 2/3, se deduce que si no cambio de caja la probabilidad de acierto será 1/3, siendo así que estoy ante dos cajas y sé que una de las dos contiene el coche...

En el dilema de las tres cajas, tras la elección inicial y haber mostrado el “showman” una vacía, hay una fase de decisión que entraña dos estrategias posibles: cambiar (C) o no cambiar (NC) nuestra elección inicial.

El problema se puede complicar cuando el número de cajas se amplía. Entonces, tras la elección inicial, el número de fases de decisión será igual al de cajas menos dos.

Supongamos ahora que tenemos cuatro cajas, P, 1, 2 y 3. El “showman” dice: tu eliges una caja y a continuación yo abro otra vacía; entonces tu decides si sigues con tu elección original o cambias a una de las dos cajas restantes (fase 1). A continuación yo abro otra caja vacía distinta de la elegida por ti. Ahora tienes que tomar una decisión final, bien continuar con tu elección previa, o cambiar a la única caja restante (fase 2).

En el cuadro siguiente se resume el resultado de las cuatro diferentes estrategias a seguir.

estrategia	fase 1	fase 2	probabilidad
1	(NC)	(NC)	¼ = 0,25
2	(C)	(NC)	3/8 = 0,375
3	(NC)	(C)	¾ = 0,750
4	(C)	(C)	5/8 = 0,625

En este caso de dos fases, correspondiente a 4 cajas, no es difícil llegar a las probabilidades de cada estrategia estableciendo un cuadro de posibles elecciones y procediendo a la cuenta de la vieja. En general, en un problema multi-fase la mejor estrategia a seguir es permanecer en la elección inicial, fase tras fase, y cambiar en la fase final.

Aristogeronte.

Madrid, enero 2003.