LA MEDIA DE GAUSS

 

            En [C-46] se publicó un artículo sobre las posibles medias entre dos números. Además de las clásicas aritmética, geométrica y harmónica, fueron definidas algunas más de acuerdo con las definiciones de los pitagóricos, las posteriores de Giordano Bruno y las modernas medias cuadráticas, cúbicas, etc.

            Pero todavía quedó algo en el tintero. También el inevitable Gauss aportó su grano de arena en este campo. Observando que la media geométrica es siempre menor que la aritmética, se le ocurrió tomar estas medias como dos nuevos números y repetir con ellos el proceso de obtención de sus respectivas medias, reiterando el proceso y pasando al límite, que llamó media aritmético-geométrica. Es decir, si empezamos con:

 

a1 = (a+b)/2                 b1 = Ö(ab)

 

haremos:

 

a2 = (a1+b1)/2              b2 = Ö(a1b1)

 

            Y así sucesivamente. La sucesión converge muy rápidamente, y con un ordenador es inmediato calcularla. Pero lo curioso es que el mismo Gauss halló una inesperada fórmula que relaciona esta media nada menos que con el cálculo integral. Si se nos permite llamarla “media gaussiana”, su valor viene definido por:

 

 

            Una pequeña manipulación matemática lleva a relacionar esta fórmula con las funciones elípticas de primera especie.

            Veamos los valores de la media para algunos casos:

 

a

b

mg

1

1,1

1,0488

1

1,5

1,2247

1

2

1,4568

1

3

2,2361

1

10

3,1623

 

Suponiendo que a es el mayor de los dos números, puede demostrarse sin dificultad que cuando el cociente a/b tiende a 1, la media gaussiana tiende a la aritmética, y cuando a/b ®¥, se va a la geométrica.

 

                                                                                              JMAiO, mar 97