Hablemos del reverendo BAYES

Thomas Bayes, nació en Inglaterra a principios del siglo XVIII y murió en 1761. Sus restos yacen en el cementerio londinense de Bunhill Fields (ver foto). El reverendo Bayes fue ministro presbiteriano. Al parecer la teología le llevó a la teoría de probabilidades, dedicando su atención al estudio de las causas a través de los efectos observados; este estudio, orientado en plan casi teológico al establecimiento de una Causa fundamental de las cosas, motivó un ensayo, publicado en 1763 dos años después de su muerte, titulado Essay towards solving a problem in the doctrine of chances. En este ensayo póstumo quedó patente el intento de establecer las probabilidades a partir de acontecimientos observados, es decir, sobre la probabilidad condicionada.

Pierre Simón Laplace, que tenía 14 años cuando murió Bayes, se interesó desde el principio de su carrera científica por la teoría de la probabilidad a la que hizo contribuciones fundamentales; su gran obra, publicada en 1812, “Essai philosophique sur les probabilités”, tuvo importante repercusión en posteriores tratadistas del tema y es considerada como una de las más sobresalientes contribuciones a la literatura matemática. Hay una frase en este libro que me interesa resaltar. Dice Laplace: “Si se considera la lógica fina y delicada que exige su empleo en la solución de los problemas (sobre probabilidad), se verá que no hay otra ciencia más digna de nuestras meditaciones”. Cuando no se aplica esta lógica “fina” se incurre a menudo en paradojas como las de Bertrand. Laplace dio a conocer definitivamente las revolucionarias teorías de Bayes algunos años después.

Hecha la presentación del reverendo Bayes, expongo a continuación su interesante fórmula, sin entrar en la demostración, seguida de unos típicos problemas que se resuelven gracias a ella.

Un suceso A puede realizarse solamente si ocurre una de las situaciones

B₁, B₂, ... B_n

mutuamente incompatibles y exhaustivas. Conocemos las probabilidades de estas situaciones en ausencia del conocimiento de que A haya ocurrido o no.

(B₁), (B₂), ... (B_n)

También conocemos las probabilidades de A condicionadas a que ocurra B_i

(A, B_i); i = 1, 2,…n

La fórmula de Bayes, que nos da la probabilidad de B_i condicionada a que A haya sucedido es:

Con este valioso recurso podemos dar solución a problemas como los siguientes:

Tres urnas. Tres urnas, X, Y y Z contienen bolas coloreadas de acuerdo con la siguiente tabla:

Urna X: 1 blanca, 2 negras, 3 rojas.

Urna Y: 2 blancas, 1 negra, 1 roja.

Urna Z: 4 blancas, 5 negras, 3 rojas.

Se escoge al azar una de las urnas y se extraen dos bolas que resultan ser blanca y roja. ¿Cuál es la probabilidad de que procedan de la urna Y?

***

Control de calidad.- Una fábrica dispone de dos máquinas con las que produce 5.000 envases diarios. La máquina X produce 3.000 de estos envases, de los que el 2 % son defectuosos; la máquina Y produce los otros 2.000 de los que el 4% son defectuosos. De la producción de un día se toma al azar un envase que resulta ser defectuoso ¿Qué probabilidad hay de que proceda de la máquina X?

***

Dos urnas.- Dos urnas X e Y contienen respectivamente 2 bolas blancas y 1 negra; y 1 bola blanca y 5 negras. Transferimos una bola de la urna X a la Y y extraemos una bola de esta última. Ocurre que es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola transferida fuese negra?

***

¿Tendré cáncer?.- (Tomado de Devlin, The language of mathematics.) Supongamos que he pasado un test sobre un tipo de cáncer relativamente raro. Este cáncer tiene una incidencia del 1% entre la población general. Pruebas amplias han mostrado que la fiabilidad del test es del 79%. Más precisamente, aunque el test no falla cuando realmente existe el cáncer, da un resultado positivo en el 21% de los casos en los que no existe cáncer, lo que se llama un “falso positivo”. ¿Cuál es la posibilidad de que tenga realmente cáncer?

Soluciónes

Tres urnas.

Sean B₁, B₂, B₃ los sucesos de elegir la urna X, Y o Z respectivamente y (B₁), (B₂), (B₃) sus respectivas probabilidades:

(B₁) = (B₂) = (B₃) = 1/3.

Sea A el suceso de que las dos bolas extraídas sean una blanca y la otra roja:

(A, B₁) = 1/5; (A, B₂) = 1/3; (A, B₃) = 2/11

Sustituyendo valores en la fórmula de Bayes tendremos que (B₂, A) = 55/118 = 0,466.

Control de calidad.

Sea A el suceso de tomar un envase defectuoso.

B₁ y B₂ los casos de que A provenga de la máquina X o de la Y respectivamente

Tendremos; (B₁) = 0,6 (B₂) = 0,4 (A, B₁) = 0,02 (A, B₂) = 0,04

Sustituyendo estos valores en la fórmula de Bayes obtenemos que la probabilidad de que el envase defectuoso provenga de la máquina X es (B₁, A) = 0,428

Dos urnas.

Llamemos A al suceso de sacar una bola blanca de la segunda urna; este puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes B₁ y B₂ debidas a que hayamos transvasado una bola blanca o una negra.

(B₁) = 2/3; (B₂) = 1/3; (A, B₁) = 2/7; (A, B₂) = 1/7

Aplicamos la fórmula de Bayes y obtenemos para (B₂, A) el valor 1/5.

¿Tendré cáncer?

Sea A el suceso de que el test resulte positivo. Este suceso puede ocurrir de dos maneras excluyentes: B₁ porque se ha aplicado a una persona realmente cancerosa, o B₂ porque se ha aplicado a una persona sana.

(B₁) = 0,01; (B₂) = 0,99; (A, B₁) = 1; (A, B₂) = 0,21

Aplicando Bayes obtenemos para (B_2, A), es decir la probabilidad de estar sano pese a que el test resultó positivo el valor 0,9541. Por consiguiente la probabilidad de tener realmente ese cáncer es del 1,000 – 0,9541 = 0,0459 o sea 4,59%. Pese a todo aun resulta una posibilidad inquietante, pero, desde luego, no tan mala como el preocupante 79% que podría deducirse del hecho de que hemos dado un resultado positivo en el test y éste tiene una fiabilidad del 79%.

Aristogeronte

Madrid, enero 2006