EL EXPERIMENTO DE LAS URNAS CON BOLAS

Tenemos dos urnas, la primera con 100 bolas blancas y la segunda con 100 bolas negras. Simultáneamente tomamos una bola de cada urna y la pasamos a la otra, repitiendo el proceso sucesivamente. Cada urna se irá "tiñendo" del color contrario al inicial, hasta llegar un momento en que cada una contendrá unas 50 bolas blancas y 50 negras. Estudiar la velocidad a la que avanzará el proceso.

SOLUCIÓN

Es evidente que, a1 principio, prácticamente todas las bolas que llegarán a la urna de blancas serán negras, y viceversa, par lo que el proceso avanzará aprisa. Pero pronto empezarán a llegar a cada urna bolas "de vuelta", y se atemperará la velocidad de la tinción. Es claro que, asintóticamente, se tenderá al valor 50/50 para cada urna.

Dadas las condiciones iniciales, se cumplirá en todo momento (tras una ida y una vuelta) que en cada urna las bolas blancas y las negras sumarán 100, y además el número de blancas de la primera será igual al de negras en la segunda, por lo que nos basta con estudiar el primer valor. Sea éste x(n) tras 1a n^sima extracción.

El estudio del proceso es ciertamente difícil por el cálculo de las probabilidades de elección de las bolas en cada extracción, pues éstas variarán en función de los resultados previos. Pero existe un procedimiento más simplificado: estudiar la evolución de los valores medios de x(n).

Efectivamente, al realizar la extracción (n+ l)^sima pasarán a la primera urna, por término medio, [100-x(n)]/100 bolas blancas y x(n)/100 bolas negras, mientras que pasarán a la segunda urna x(n)/100 bolas blancas y [100-x(n)]/100 bolas negras. Con lo que el balance será:

x(n+1) = x(n) + (100-x(n)]/100- x(n)/100 = 0,98x(n) -1

De donde resulta fácilmente:

x(n) = 50 + 51×0,98ⁿ

Podemos efectuar una prueba por el método de Monte-Carlo para verificar la fiabilidad del método. Efectuado en tres supuestos distintos, se llega a las gráficas de la figura, que no difieren mucho de la teórica.

Con todo, una duda me impide ser feliz: ¿Es el método lo suficientemente riguroso? Me gustaría que alguien pudiera darme respuesta. Desde luego, la fórmula prohíbe, por ejemplo, que en algún momento las blancas de la primera lleguen a ser menos de 50, cosa perfectamente posible.

JMAiO, jul 96