ECONOMIZANDO ANALISIS CLINICOS

En el recomendable libro EL HOMBRE ANUMERICO, de John Allen Paulos (comentado recientemente por Francesc Castanyer) se proponía la siguiente cuestión:

Consideremos una clínica que analiza sangre en busca de una enfermedad que se sabe afecta a una persona de cada cien. Los pacientes acuden a la clínica en grupos de cincuenta y el director se pregunta si en vez de analizar la sangre de cada uno por separado no le saldría más a cuenta mezclar las cincuenta muestras y analizar en conjunto. Si la muestra total da negativo, podría declarar sanos a los cincuenta, y en caso contrario habría que analizar la sangre de cada miembro del grupo por separado. ¿Cuál es el número esperado de análisis que habría que realizar en caso que se decidiera adoptar este procedimiento?

El director habrá de realizar o bien un análisis (si la muestra mezcla da negativo) o cincuenta y uno (si da positivo). La probabilidad de que una persona esté sana es 99/100, y por tanto la probabilidad de que lo estén las cincuenta que componen el grupo es (99/100^50. Así pues, la probabilidad de que haya de realizar un solo análisis es (99/100)50. Por otra parte, la probabilidad de que por lo menos una persona padezca la enfermedad es la probabilidad complementaria, [1 - (99/100)50], y ésta es también la probabilidad de que haya que realizar cincuenta y un análisis. Por tanto el número esperado de análisis necesarios es (1 análisis x (99/100)50) + (51 análisis x [1 - (99/100)50]) = aproximadamente 21 análisis.

Si el número de personas que ha de pasar el análisis de sangre es grande, será una sabia decisión por parte del director tomar una parte de cada muestra, mezclarla y analizar primero la muestra mezcla. Y si hace falta, analizará luego por separado los restos de las cincuenta muestras. En promedio, este procedimiento hará que basten veintiún análisis por cada cincuenta personas.

Cualquier carrollista sentirá la curiosidad de generalizar tan ingenioso procedimiento. Si es p la probabilidad de padecer la enfermedad y n el tamaño de la muestra, el número k de análisis necesarios es:

k = (1 – p)ⁿ + (n+1)[1 - (1 - p)ⁿ]

Y por tanto, el "índice de análisis", s = k/n, vale:

Derivando se halla fácilmente el mínimo de esta función, que corresponde a n = 10,52, con lo que s = 0,195. Esto es, que saldría más a cuenta dividir los grupos de 50 en subgrupos de 10, para cada uno de los cuales bastaría con dos análisis (10 en total, frente a los 21 anteriores).

Y todavía podría mejorarse la estrategia, estableciendo unos grupos iniciales y reiterando el procedimiento en los mórbidos, definiendo en éstos nuevos subgrupos.

¿Algún carrollista se anima a diseñar la estrategia óptima?

JMAiO, jun 90