Duelo entre tres (generalización)

Tres personas A, B y C se desafían en duelo y convienen en que primero disparará A luego B y luego C y así sucesivamente.

A es un tirador mediocre; su probabilidad de acertar es x; B es mejor, su probabilidad es y > x. C acierta siempre.

Se pregunta cuál es la mejor estrategia para A.

(A partir de u n problema remitido por Mariano Nieto)

Solución

Representaremos “P dispara a Q” como P → Q.

Desde luego, nunca A → B, pues en el mejor de los casos (darle) sucumbiría en el próximo disparo, cuando C → A.

Si A → C y acierta, el duelo se convierte en un “duelo de 2”, siendo B el tirador mano y A el postre, por lo que, según las fórmulas vistas en el problema Duelo:

Si A → C y no acierta, en el siguiente turno B → C.

· Si acierta, estamos en el mismo caso del “duelo de 2” entre A y B, con la diferencia de que ahora A es mano. Las probabilidades mejoran para A, pues son:

· Pero si B no acierta, entonces C → B, lo mata, y se entra en un “duelo de 2” entre A y C, con probabilidad para A, que es mano, de x y un solo disparo disponible, pues si no acierta, C → A y lo mata.

Por tanto, la probabilidad total de que A sobreviva, a la que llamaremos PS(A) es:

Pero observemos que al disparar A contra C, suprime sus chances de que C le libre del también peligroso B. ¿Qué ocurriría si en el primer turno A disparara al aire? Entonces B tirará sobre C con probabilidad y. Si acierta, entramos en el “duelo de 2” antes visto entre A (postre) y B. Si no acierta, C → B y lo mata, y también el duelo queda reducido al “duelo de 2” entre A (mano) y B. Las probabilidades son ahora las mismas vistas anteriormente.

Conque la probabilidad para A es ahora:

Igualemos ahora ambas probabilidades, lo que se reduce a:

Es decir, que las dos probabilidades deben guardar esta relación. Descartado el caso trivial x = 0, será en general:

Lo que conduce a un caso imposible, pues para cualquier valor de y, debería ser x > 1.

Calculemos ahora las probabilidades de B y de C.

Dando por sentado que A va a disparar al aire, B disparará contra C, con probabilidad y. Si no acierta, es hombre muerto. Pero si acierta, tras matar a C deberá someterse al fuego de A, iniciándose un intercambio de disparos en el que B lleva la probabilidad y(1-x)/(1-xy). Por tanto, su probabilidad total es:

En cuanto a C, sufrirá el disparo de B, que tirará contra él con probabilidad y. Si sobrevive, disparará contra B, matándolo, y se someterá a un único tiro de A, con probabilidad x para éste. Por tanto:

Como puede comprobarse, las tres probabilidades suman 1.

Para que las tres probabilidades fueran iguales, debería cumplirse un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, que será en general incompatible.

JMAiO, BCN, nov 07