Duelo entre tres

Tres personas A, B y C se desafían en duelo y convienen en que primero disparará A luego B y luego C y así sucesivamente.

A es un tirador mediocre y falla dos de cada tres tiros; B es mejor, ya que sólo falla uno de cada tres. C acierta siempre.

Se pregunta cuál es la mejor estrategia para A.

(Remitido por Mariano Nieto)

Solución

Representaremos “X dispara a Y” como X → Y.

Desde luego, nunca A → B, pues en el mejor de los casos (darle) sucumbiría en el próximo disparo, cuando C → A.

Si A → C y acierta, el duelo se convierte en un “duelo de 2”, siendo B el tirador mano y A el postre, por lo que, según las fórmulas vistas en el problema Duelo:

π(B) = ¾

π(A) = ¼

Si A → C y no acierta, en el siguiente turno B → C.

· Si acierta, estamos en el mismo caso del “duelo de 2” entre A y B, con la diferencia de que ahora A es mano. Las probabilidades mejoran para A, pues son:

π (A) = 3/8

π (B) = 5/8

· Pero si B no acierta, entonces C → B, lo mata, y se entra en un “duelo de 2” entre A y C, con probabilidad para A, que es mano, de 1/3 y un solo disparo disponible, pues si no acierta, C → A y lo mata.

Por tanto, la probabilidad total de que A sobreviva en este primer caso, a la que llamaremos PS₁(A), es:

Pero observemos que al disparar A contra C, suprime sus chances de que C le libre del también peligroso B. ¿Qué ocurriría si en el primer turno A disparara al aire? Entonces B tirará sobre C con probabilidad 2/3. Si acierta, entramos en el “duelo de 2” antes visto entre A (mano) y B. Si no acierta, C → B y lo mata, y también el duelo queda reducido al “duelo de 2” entre A (mano) y B. Las probabilidades son ahora las mismas vistas anteriormente.

Conque la probabilidad PS₂(A) es ahora:

Las posibilidades de A aumentan significativamente (un 11,4 %) al propiciar que sus adversarios se eliminen entre sí.

De paso, calculemos las probabilidades de B y de C.

Dando por sentado que A va a disparar al aire, B disparará contra C, con probabilidad 2/3. Si no acierta, es hombre muerto. Pero si acierta, tras matar a C deberá someterse al fuego de A, iniciándose un intercambio de disparos en el que B lleva la probabilidad 5/8, como antes hemos visto. Por tanto, su probabilidad total es:

En cuanto a C, sufrirá el disparo de B, que tirará contra él con probabilidad 2/3. Si sobrevive, disparará contra B, matándolo, y se someterá a un único tiro de A, con probabilidad de 1/3 para éste. Por tanto:

Naturalmente, las tres probabilidades suman 1.

Este problema presenta un interesante corolario: ¿Cuáles son las probabilidades en general para P(A) = x; P(B) = y; P(C) = 1? ¿Cuáles deberían ser las probabilidades para que fuera indiferente que A → C o al aire? ¿Y cuáles para que los tres tiradores tuvieran la misma probabilidad?

JMAiO, BCN, nov 07