DUELO

Dos individuos, que llamaremos A y B, se desafían en duelo. Ambos son igualmente hábiles en el disparo o, dicho de otra manera, tienen las mismas probabilidades de acertar.

Si ambos disparan simultáneamente el duelo resultaría “justo”, pero si se conviene en que primero dispara A y luego B (en caso de que A falle) ya el juego no resultaría equitativo y dependerá de la probabilidad de acierto en el disparo.

Supongamos que ambos duelistas no fallan nunca, entonces es evidente que A lleva todas las de ganar. El duelo terminaría tras el primer disparo.

Por el contrario si ambos fallan siempre, no habría ventaja de A sobre B. El duelo se haría eterno.

Pero, ¿cuál sería la ventaja de A, medida en forma de probabilidad de subsistir, en los siguientes casos?:

1) La probabilidad de acierto de ambos fuese del 50%.

2) La probabilidad de acierto de A fuese de 1/3 y la de B 1/6

(Propuesto por Mariano Nieto)

Solución

Sean a y b las probabilidades respectivas de acertar para cada jugador.

La probabilidad de que el primero gane el duelo en el primer disparo es a.

La de ganarlo en el tercero, no habiéndolo hecho en el primero y habiendo fallado su adversario también en el segundo, es (1 – a)(1- b)a.

Similarmente, la de ganar al quinto disparo será (1 – a)²(1 – b)²a.

Y así sucesivamente.

Por tanto, la probabilidad π(A) de que gane el primer duelista es:

Por la fórmula de la suma de las progresiones geométricas, fácilmente se obtiene:

Similarmente, la probabilidad para el segundo tirador será:

Fácilmente se comprueba que cuando a = b, siempre es π(A) > π(B), como era de esperar. Pero la discusión de estas fórmulas arroja otros resultados interesantes. El primero es que, para que el duelo fuera equitativo, es decir, π(A) = π(B), la probabilidad b del segundo tirador debería ser:

Es decir, que si a > ½, el duelo nunca será equilibrado; b debería ser mayor que la unidad. Sólo en el caso extremo a = ½ puede serlo cuando b = 1: ¡el segundo tirador debe ser infalible! Medítese y se verá claro.

Visto desde el punto de vista del primer jugador, el duelo equilibrado supondría:

Es decir, el duelo siempre podrá ser equilibrado para el primer jugador. Incluso con probabilidades altas de b, las de a podrán ser moderadas, ¡tanta es la ventaja de tirar primero!. Por ejemplo, para b = 0,9, basta con que a = 0,9/1,9 = 0,474.

Enm los antiguos duelos, aunque a partir de una voz de los padrinos se decía “Fuego a discreción”, a veces se adjudicaba el primer disparo al sorteo. Fácilmente se ve cuán injusto era el procedimiento.

Pasando a las preguntas finales, el caso (1) ha sido ya contestado. En el caso (2), se halla π(A) = ¾.

JMAiO, BCN, nov 07